Упр.53.4 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) (2x^2 + 1/x)^6;
б) (3(4)корень(a) + 1/корень(a))^9.

1. а) Рассмотрим общий член разложения бинома:

   $$ (2x^2+\frac{1}{x})^6=\sum_{k=0}^{6} C_6^k (2x^2)^{6-k}\left(\frac{1}{x}\right)^k $$

   Общий член имеет вид:

   $$ C_6^k \cdot 2^{6-k}\cdot x^{2(6-k)}\cdot x^{-k} = C_6^k \cdot 2^{6-k}\cdot x^{12-3k} $$

   Чтобы член не содержал переменной, нужно:

   $$ 12-3k=0 $$

   $$ k=4 $$

   Тогда искомый член:

   $$ C_6^4(2x^2)^2\left(\frac{1}{x}\right)^4 = C_6^4\cdot 4\cdot x^4\cdot x^{-4} = 15\cdot 4=60 $$

2. б) Аналогично, для разложения

   $$ \left(3\sqrt[4]{a}+\frac{1}{\sqrt{a}}\right)^9 $$

   общий член равен:

   $$ C_9^k\left(3a^{1/4}\right)^{9-k}\left(a^{-1/2}\right)^k = C_9^k\cdot 3^{9-k}\cdot a^{\frac{9-k}{4}-\frac{k}{2}} $$

   Чтобы член не содержал переменной, нужно:

   $$ \frac{9-k}{4}-\frac{k}{2}=0 $$

   $$ 9-k-2k=0 $$

   $$ 9-3k=0 $$

   $$ k=3 $$

   Тогда искомый член:

   $$ C_9^3\left(3\sqrt[4]{a}\right)^6\left(\frac{1}{\sqrt{a}}\right)^3 = 84\cdot 3^6\cdot a^{6/4}\cdot a^{-3/2} = 84\cdot 729 = 61236 $$

Ответ

а) 60; б) 61236.