Упр.53.3 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) Р(х) = (1 + Зx)^4;
б) Р(х) = (3 — 2x)^5;
в) Р(х) = (х + 2)^5 — (2х + 1)^4;
г) Р(х) = (х^2 — x)^4 + (3 — x/3)^4.

Подробный ответ

$$P(x)=(1+3x)^4$$
По формуле бинома Ньютона коэффициент при $$x^3$$ равен
$$C_4^3 \cdot 1^{4-3}\cdot (3x)^3=4\cdot 27x^3=108x^3.$$
Значит, коэффициент при $$x^3$$ равен $$108$$.
$$P(x)=(3-2x)^5$$
Коэффициент при $$x^3$$:
$$C_5^3 \cdot 3^{5-3}\cdot (-2x)^3=10\cdot 9\cdot (-8)x^3=-720x^3.$$
Значит, коэффициент при $$x^3$$ равен $$-720$$.
$$P(x)=(x+2)^5-(2x+1)^4$$
Из первого слагаемого коэффициент при $$x^3$$:
$$C_5^3 \cdot x^3 \cdot 2^{5-3}=10\cdot 4x^3=40x^3.$$
Из второго слагаемого коэффициент при $$x^3$$:
$$C_4^3 \cdot (2x)^3 \cdot 1^{4-3}=4\cdot 8x^3=32x^3.$$
Тогда для всего многочлена:
$$40x^3-32x^3=8x^3.$$
Значит, коэффициент при $$x^3$$ равен $$8$$.
$$P(x)=(x^2-x)^4+\left(3-\frac{x}{3}\right)^4$$
В первом слагаемом все степени имеют вид $$x^{8-k}$$, где $$k=0,1,2,3,4$$, то есть степени $$8,7,6,5,4$$. Члена с $$x^3$$ нет.
Во втором слагаемом член с $$x^3$$ получается при выборе третьего члена разложения:
$$C_4^3 \cdot 3^{4-3}\cdot \left(-\frac{x}{3}\right)^3=4\cdot 3\cdot \left(-\frac{x^3}{27}\right)=-\frac{4}{9}x^3.$$
Значит, коэффициент при $$x^3$$ равен $$-\frac{4}{9}$$.