Упр.52.4 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) верно неравенство (n + 1)! > (0,99n + 5) * n!;
б) верно неравенство (n + 1)! > (n + 333) * (n — 1)!;
в) число 2^n / n! меньше единицы;
г) число n! составляет более 1000% от числа (n — 1)!.

Подробный ответ

$$ (n+1)! > (0{,}99n+5)\cdot n! $$
Так как $$n! > 0$$, разделим обе части на $$n!$$:
$$ n+1 > 0{,}99n+5 $$
$$ 0{,}01n > 4 $$
$$ n > 400 $$
Наименьшее натуральное число: $$n=401$$.
$$ (n+1)! > (n+333)\cdot (n-1)! $$
Разделим обе части на $$ (n-1)! $$:
$$ (n+1)n > n+333 $$
$$ n^2+n > n+333 $$
$$ n^2 > 333 $$
$$ n > \sqrt{333} $$
Так как $$18^2=324<333$$, а $$19^2=361>333$$, то наименьшее натуральное число:
$$n=19$$.
$$ \frac{2^n}{n!} < 1 $$
Проверим подряд натуральные значения:
$$ \frac{2^1}{1!}=2 $$
$$ \frac{2^2}{2!}=2 $$
$$ \frac{2^3}{3!}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3} $$
$$ \frac{2^4}{4!}=\frac{16}{24}=\frac{2}{3} < 1 $$
Значит, наименьшее подходящее число:
$$n=4$$.
$$ n! \text{ составляет более } 1000\% \text{ от } (n-1)! $$
Так как $$1000\% = 10$$, получаем:
$$ n! > 10\cdot (n-1)! $$
$$ \frac{n!}{(n-1)!} > 10 $$
$$ n > 10 $$
Наименьшее натуральное число:
$$n=11$$.