Упр.49.34 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции
у = x^3 — 6x^2 + 9x + 1 и касательной к нему в точке x = 3.
б) Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции
у = x^3 — 3x и касательной к нему в точке x = -1.

а) Пусть $$f(x)=x^3-6x^2+9x+1.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3).$$

В точке $$x=3$$ имеем:

$$f'(3)=0,\qquad f(3)=27-54+27+1=1.$$

Значит, касательная проходит через точку $$\left(3,1\right)$$ и имеет уравнение

$$y=1.$$

Точки пересечения графика функции и касательной найдём из уравнения:

$$x^3-6x^2+9x+1=1,$$

$$x^3-6x^2+9x=0,$$

$$x(x^2-6x+9)=0,$$

$$x(x-3)^2=0.$$

Отсюда $$x=0$$ и $$x=3.$$ На отрезке $$[0;3]$$ график функции расположен выше касательной, поэтому

$$S=\int\limits_0^3 \bigl((x^3-6x^2+9x+1)-1\bigr)\,dx=\int\limits_0^3 (x^3-6x^2+9x)\,dx.$$

$$ S=\left(\frac{x^4}{4}-2x^3+\frac{9x^2}{2}\right)\Bigg|_0^3 =\frac{81}{4}-54+\frac{81}{2} =\frac{27}{4}=6{,}75. $$

б) Пусть $$f(x)=x^3-3x.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1).$$

В точке $$x=-1$$ имеем:

$$f'(-1)=0,\qquad f(-1)=-1+3=2.$$

Следовательно, касательная имеет уравнение

$$y=2.$$

Точки пересечения графика функции и касательной найдём из уравнения:

$$x^3-3x=2,$$

$$x^3-3x-2=0,$$

$$x^3+2x^2-3x-2x^2-4x-2=0,$$

$$x(x^2+2x+1)-2(x^2+2x+1)=0,$$

$$x(x-2)(x+1)^2=0.$$

Отсюда $$x=-1$$ и $$x=2.$$ На отрезке $$[-1;2]$$ график функции расположен ниже касательной, поэтому

$$S=\int\limits_{-1}^2 \bigl(2-(x^3-3x)\bigr)\,dx=\int\limits_{-1}^2 (2-x^3+3x)\,dx.$$

$$ S=\left(2x-\frac{x^4}{4}+\frac{3x^2}{2}\right)\Bigg|_{-1}^2 =6-\frac{15}{4}+\frac{3}{2} =\frac{27}{4}=6{,}75. $$

Ответ

а) $$6{,}75$$; б) $$6{,}75$$.