Упр.49.32 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) у = sin 2х, у = 16x^2 / пи^2;
б) у = х^2 — 1, у = cos пиx/2;
в) у = cos x, у = (2x/пи — 1)^2;
г) у = х^2 — 2x, у = sin пиx/2.

Подробный ответ

а) Точки пересечения графиков найдём из уравнения
$$\sin 2x=\frac{16x^2}{\pi^2}.$$
Подходящие точки: $$x=0$$ и $$x=\frac{\pi}{4}.$$ На отрезке $$\left[0;\frac{\pi}{4}\right]$$ сверху расположен график $$y=\sin 2x$$.
Тогда
$$ S=\int\limits_0^{\pi/4}\left(\sin 2x-\frac{16x^2}{\pi^2}\right)\,dx =\left(-\frac12\cos 2x-\frac{16x^3}{3\pi^2}\right)\Bigg|_0^{\pi/4}. $$
$$ S=\left(-\frac12\cos\frac{\pi}{2}-\frac{16}{3\pi^2}\cdot\frac{\pi^3}{64}\right)-\left(-\frac12\cos 0\right) =-\frac{\pi}{12}+\frac12 =\frac{6-\pi}{12}. $$
б) Точки пересечения:
$$x^2-1=\cos\frac{\pi x}{2}, \qquad x=\pm 1.$$
На отрезке $$[-1;1]$$ сверху находится график $$y=\cos\frac{\pi x}{2}$$.
$$ S=\int\limits_{-1}^{1}\left(\cos\frac{\pi x}{2}-(x^2-1)\right)\,dx =\left(\frac{2}{\pi}\sin\frac{\pi x}{2}-\frac{x^3}{3}+x\right)\Bigg|_{-1}^{1}. $$
$$ S=\left(\frac{2}{\pi}\cdot 1-\frac13+1\right)-\left(\frac{2}{\pi}\cdot(-1)-\frac{(-1)^3}{3}-1\right) =\frac{4}{\pi}+\frac{4}{3} =\frac{4(3+\pi)}{3\pi}. $$
в) Точки пересечения:
$$\cos x=\left(\frac{2x}{\pi}-1\right)^2, \qquad x=0,\; x=\frac{\pi}{2}.$$
На отрезке $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$ сверху расположен график $$y=\cos x$$.
$$ S=\int\limits_0^{\pi/2}\left(\cos x-\left(\frac{2x}{\pi}-1\right)^2\right)\,dx =\int\limits_0^{\pi/2}\left(\cos x-\frac{4x^2}{\pi^2}+\frac{4x}{\pi}-1\right)\,dx. $$
$$ S=\left(\sin x-\frac{4x^3}{3\pi^2}+\frac{2x^2}{\pi}-x\right)\Bigg|_0^{\pi/2} =1-\frac{\pi}{6} =\frac{6-\pi}{6}. $$
г) Точки пересечения:
$$x^2-2x=\sin\frac{\pi x}{2}, \qquad x=0,\; x=2.$$
На отрезке $$[0;2]$$ сверху расположен график $$y=\sin\frac{\pi x}{2}$$.
$$ S=\int\limits_0^2\left(\sin\frac{\pi x}{2}-(x^2-2x)\right)\,dx =\left(-\frac{2}{\pi}\cos\frac{\pi x}{2}-\frac{x^3}{3}+x^2\right)\Bigg|_0^2. $$
$$ S=\left(-\frac{2}{\pi}\cos\pi-\frac{8}{3}+4\right)-\left(-\frac{2}{\pi}\cos 0\right) =\frac{4}{3}+\frac{4}{\pi} =\frac{4(3+\pi)}{3\pi}. $$