Упр.49.30 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) интеграл(0 корень(2)) корень(4 — x^2) dx;
б) интеграл(-4 4) корень(64 — x^2) dx.

а) Рассмотрим функцию $$y=\sqrt{4-x^2}.$$ Тогда

$$y^2=4-x^2,$$

$$x^2+y^2=4.$$

Это верхняя полуокружность радиуса $$R=2$$ с центром в начале координат.

На отрезке $$0\le x\le \sqrt{2}$$ под графиком получается фигура, которую удобно представить как сумму:

• треугольника $$OAB$$;
• сектора с центральным углом $$45^\circ$$.

Найдём площадь треугольника. Так как $$OA=2,$$ $$OB=\sqrt{2},$$ то

$$AB=\sqrt{OA^2-OB^2}=\sqrt{4-2}=\sqrt{2}.$$

Тогда

$$S_1=\frac12\cdot AB\cdot OB=\frac12\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=1.$$

Площадь сектора:

$$S_2=\frac{45^\circ}{360^\circ}\cdot \pi R^2=\frac{45}{360}\cdot \pi\cdot 2^2=\frac{\pi}{2}.$$

Следовательно,

$$\int\limits_0^{\sqrt{2}}\sqrt{4-x^2}\,dx=S_1+S_2=1+\frac{\pi}{2}.$$

б) Рассмотрим функцию $$y=\sqrt{64-x^2}.$$ Тогда

$$x^2+y^2=64,$$

то есть это верхняя полуокружность радиуса $$R=8.$$

На отрезке $$-4\le x\le 4$$ площадь под графиком состоит из двух равных частей, поэтому

$$\int\limits_{-4}^{4}\sqrt{64-x^2}\,dx=2\int\limits_0^4\sqrt{64-x^2}\,dx.$$

Для части от $$0$$ до $$4$$ получаем треугольник с катетами $$4$$ и $$4\sqrt{3}$$ и сектор с углом $$30^\circ$$.

Площадь треугольника:

$$S_1=\frac12\cdot 4\cdot 4\sqrt{3}=8\sqrt{3}.$$

Площадь сектора:

$$S_2=\frac{30^\circ}{360^\circ}\cdot \pi\cdot 8^2=\frac{16\pi}{3}.$$

Тогда

$$\int\limits_{-4}^{4}\sqrt{64-x^2}\,dx=2(S_1+S_2)=2\left(8\sqrt{3}+\frac{16\pi}{3}\right)=16\sqrt{3}+\frac{32\pi}{3}=\frac{16}{3}\left(2\pi+3\sqrt{3}\right).$$

Ответ

а) $$\frac{\pi}{2}+1$$; б) $$\frac{16}{3}\left(2\pi+3\sqrt{3}\right).$$