Упр.49.29 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) интеграл(0 4) корень(4x — x^2) dx;
б) интеграл(-1 0) корень(-x^2 — 2x) dx.

а) Рассмотрим подынтегральную функцию:

$$y=\sqrt{4x-x^2}$$

Возведём в квадрат:

$$y^2=4x-x^2$$

$$x^2-4x+y^2=0$$

$$x^2-4x+4+y^2=4$$

$$\left(x-2\right)^2+y^2=4$$

Это верхняя полуокружность с центром $$\left(2;0\right)$$ и радиусом $$R=2$$.

На отрезке $$0\le x\le 4$$ график задаёт именно верхнюю половину круга, значит

$$\int\limits_0^4 \sqrt{4x-x^2}\,dx=\frac12\pi R^2=\frac12\pi\cdot 2^2=2\pi.$$

б) Рассмотрим подынтегральную функцию:

$$y=\sqrt{-x^2-2x}$$

Возведём в квадрат:

$$y^2=-x^2-2x$$

$$x^2+2x+y^2=0$$

$$x^2+2x+1+y^2=1$$

$$\left(x+1\right)^2+y^2=1$$

Это верхняя полуокружность с центром $$\left(-1;0\right)$$ и радиусом $$R=1$$.

На отрезке $$-1\le x\le 0$$ получаем четверть круга, поэтому

$$\int\limits_{-1}^0 \sqrt{-x^2-2x}\,dx=\frac14\pi R^2=\frac14\pi\cdot 1^2=\frac{\pi}{4}.$$

Ответ

а) $$2\pi$$; б) $$\frac{\pi}{4}$$.