Упр.49.28 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) интеграл(0 4) корень(16 — x^2) dx;
б) интеграл(-5 0) корень(25 — x^2) dx.

а) Рассмотрим функцию $$y=\sqrt{16-x^2}.$$ Тогда

$$y^2=16-x^2,$$
$$x^2+y^2=16.$$

Это верхняя четверть окружности радиуса $$R=4.$$ На отрезке $$0\le x\le 4$$ под графиком лежит четверть круга, поэтому

$$\int_0^4 \sqrt{16-x^2}\,dx=\frac14\pi R^2=\frac14\pi\cdot 4^2=4\pi.$$

б) Рассмотрим функцию $$y=\sqrt{25-x^2}.$$ Тогда

$$y^2=25-x^2,$$
$$x^2+y^2=25.$$

Это верхняя четверть окружности радиуса $$R=5.$$ На отрезке $$-5\le x\le 0$$ под графиком лежит четверть круга, поэтому

$$\int_{-5}^0 \sqrt{25-x^2}\,dx=\frac14\pi R^2=\frac14\pi\cdot 5^2=\frac{25\pi}{4}.$$

Ответ

а) $$4\pi$$; б) $$\frac{25\pi}{4}.$$