Упр.49.27 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) интеграл(-3 6) f(x) dx, где f(x) =
система
х^2, если -3 < = х < = 2, 6 - х, если х > 2;
б) интеграл(1/4 2) f(x) dx, где f(x) =
система
1 / корень(x), если 0 < х < = 1, x^3, если х > 1.

а) Так как на отрезке $$[-3;6]$$ функция задана по частям, разобьём интеграл в точке $$x=2$$:

$$ \int_{-3}^{6} f(x)\,dx=\int_{-3}^{2} x^2\,dx+\int_{2}^{6} (6-x)\,dx. $$

Вычислим:

$$ \int_{-3}^{2} x^2\,dx=\left.\frac{x^3}{3}\right|_{-3}^{2}=\frac{8}{3}-\left(-\frac{27}{3}\right)=\frac{35}{3}, $$

$$ \int_{2}^{6} (6-x)\,dx=\left.(6x-\frac{x^2}{2})\right|_{2}^{6}=(36-18)-(12-2)=8. $$

Тогда

$$ \int_{-3}^{6} f(x)\,dx=\frac{35}{3}+8=\frac{59}{3}=19\frac{2}{3}. $$

б) Разобьём интеграл в точке $$x=1$$:

$$ \int_{1/4}^{2} f(x)\,dx=\int_{1/4}^{1}\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx+\int_{1}^{2} x^3\,dx. $$

Найдём значение каждого интеграла:

$$ \int_{1/4}^{1}\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx=\int_{1/4}^{1} x^{-1/2}\,dx=\left.2\sqrt{x}\right|_{1/4}^{1}=2-1=1, $$

$$ \int_{1}^{2} x^3\,dx=\left.\frac{x^4}{4}\right|_{1}^{2}=\frac{16-1}{4}=\frac{15}{4}. $$

Следовательно,

$$ \int_{1/4}^{2} f(x)\,dx=1+\frac{15}{4}=\frac{19}{4}=4\frac{3}{4}=4{,}75. $$

Ответ

а) $$19\frac{2}{3}$$; б) $$4{,}75$$.