Упр.49.23 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) у = 1 — x^2, у = -х — 1;
б) у = х^2 — Зх + 2, у = х — 1;
в) у = х^2 — 1, у = 2х + 2;
г) у = -х^2 + 2х + 3, y = 3 — х.

Подробный ответ

а) $$y=1-x^2,\quad y=-x-1$$
Найдём точки пересечения:
$$1-x^2=-x-1$$
$$x^2-x-2=0$$
$$\left(x+1\right)\left(x-2\right)=0$$
$$x_1=-1,\quad x_2=2$$
На отрезке $$[-1;2]$$ сверху находится функция $$y=1-x^2$$. Тогда
$$ S=\int_{-1}^{2}\bigl((1-x^2)-(-x-1)\bigr)\,dx =\int_{-1}^{2}(-x^2+x+2)\,dx $$
$$ S=\left(-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+2x\right)\Bigg|_{-1}^{2} =\frac{9}{2} $$
б) $$y=x^2-3x+2,\quad y=x-1$$
Точки пересечения:
$$x^2-3x+2=x-1$$
$$x^2-4x+3=0$$
$$\left(x-1\right)\left(x-3\right)=0$$
$$x_1=1,\quad x_2=3$$
На отрезке $$[1;3]$$ сверху прямая $$y=x-1$$. Тогда
$$ S=\int_{1}^{3}\bigl((x-1)-(x^2-3x+2)\bigr)\,dx =\int_{1}^{3}(-x^2+4x-3)\,dx $$
$$ S=\left(-\frac{x^3}{3}+2x^2-3x\right)\Bigg|_{1}^{3} =\frac{4}{3} $$
в) $$y=x^2-1,\quad y=2x+2$$
Точки пересечения:
$$x^2-1=2x+2$$
$$x^2-2x-3=0$$
$$\left(x+1\right)\left(x-3\right)=0$$
$$x_1=-1,\quad x_2=3$$
На отрезке $$[-1;3]$$ сверху прямая $$y=2x+2$$. Тогда
$$ S=\int_{-1}^{3}\bigl((2x+2)-(x^2-1)\bigr)\,dx =\int_{-1}^{3}(-x^2+2x+3)\,dx $$
$$ S=\left(-\frac{x^3}{3}+x^2+3x\right)\Bigg|_{-1}^{3} =\frac{32}{3} $$
г) $$y=-x^2+2x+3,\quad y=3-x$$
Точки пересечения:
$$-x^2+2x+3=3-x$$
$$-x^2+3x=0$$
$$x\left(x-3\right)=0$$
$$x_1=0,\quad x_2=3$$
На отрезке $$[0;3]$$ сверху парабола $$y=-x^2+2x+3$$. Тогда
$$ S=\int_{0}^{3}\bigl((-x^2+2x+3)-(3-x)\bigr)\,dx =\int_{0}^{3}(-x^2+3x)\,dx $$
$$ S=\left(-\frac{x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}\right)\Bigg|_{0}^{3} =\frac{9}{2} $$