Упр.49.21 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) х = 1, у = е^x, y = е^-х;
б) у = 1 / e^x, у = 1, х = -1;
в) у = е^х, х = 2, х + 2у = 2;
г) y = е^x, y = -e^x, х = 2, х = 0.

1. а) Найдём точку пересечения графиков $$y=e^x$$ и $$y=e^{-x}$$:

   $$e^x=e^{-x}$$

   $$x=-x$$

   $$x=0.$$

   На отрезке $$[0;1]$$ сверху находится график $$y=e^x$$, поэтому

   $$ S=\int\limits_0^1 \left(e^x-e^{-x}\right)\,dx =\left(e^x+e^{-x}\right)\Big|_0^1 =\left(e+\frac1e\right)-2 =\frac{(e-1)^2}{e}. $$

2. б) Точка пересечения графиков $$y=\dfrac1{e^x}$$ и $$y=1$$:

   $$\frac1{e^x}=1 \;\Rightarrow\; e^x=1 \;\Rightarrow\; x=0.$$

   На отрезке $$[-1;0]$$ сверху находится график $$y=\dfrac1{e^x}$$, значит

   $$ S=\int\limits_{-1}^0 \left(\frac1{e^x}-1\right)\,dx =\int\limits_{-1}^0 \left(e^{-x}-1\right)\,dx =\left(-e^{-x}-x\right)\Big|_{-1}^0 =e-2. $$

3. в) Прямая $$x+2y=2$$ имеет вид

   $$y=1-\frac{x}{2}.$$

   Точка пересечения с графиком $$y=e^x$$:

   $$e^x=1-\frac{x}{2}.$$

   На отрезке $$[0;2]$$ сверху находится график $$y=e^x$$, поэтому

   $$ S=\int\limits_0^2 \left(e^x-\left(1-\frac{x}{2}\right)\right)\,dx =\int\limits_0^2 \left(e^x-1+\frac{x}{2}\right)\,dx =\left(e^x-x+\frac{x^2}{4}\right)\Big|_0^2 =e^2-2. $$

4. г) Графики $$y=e^x$$ и $$y=-e^x$$ симметричны относительно оси $$Ox$$. На отрезке $$[0;2]$$ площадь равна

   $$ S=\int\limits_0^2 \left(e^x-(-e^x)\right)\,dx =\int\limits_0^2 2e^x\,dx =2e^x\Big|_0^2 =2(e^2-1). $$

Ответ

а) $$\dfrac{(e-1)^2}{e}$$; б) $$e-2$$; в) $$e^2-2$$; г) $$2(e^2-1)$$.