Упр.49.2 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) интеграл(пи/2 пи) sin x dx;
6) интеграл(-пи/4 пи/4) dx / cos^2 x;
в) интеграл(-пи/2 пи/2) cos x dx;
г) интеграл(пи/4 пи/2) dx / sin^2 x.

1. $$\int_{\pi/2}^{\pi}\sin x\,dx$$

   Первообразная для $$\sin x$$ — это $$-\cos x$$. Тогда

   $$ \int_{\pi/2}^{\pi}\sin x\,dx = -\cos x\Big|_{\pi/2}^{\pi} = -\cos \pi — \bigl(-\cos \tfrac{\pi}{2}\bigr) = -(-1)-0=1. $$

2. $$\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\frac{dx}{\cos^2 x}$$

   Так как $$\dfrac{1}{\cos^2 x}=\sec^2 x$$, то первообразная — $$\tg x$$. Получаем

   $$ \int_{-\pi/4}^{\pi/4}\frac{dx}{\cos^2 x} = \tg x\Big|_{-\pi/4}^{\pi/4} = \tg \tfrac{\pi}{4}-\tg\bigl(-\tfrac{\pi}{4}\bigr) = 1-(-1)=2. $$

3. $$\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos x\,dx$$

   Первообразная для $$\cos x$$ — это $$\sin x$$. Тогда

   $$ \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos x\,dx = \sin x\Big|_{-\pi/2}^{\pi/2} = \sin \tfrac{\pi}{2}-\sin\bigl(-\tfrac{\pi}{2}\bigr) = 1-(-1)=2. $$

4. $$\int_{\pi/4}^{\pi/2}\frac{dx}{\sin^2 x}$$

   Так как $$\dfrac{1}{\sin^2 x}=\csc^2 x$$, то первообразная — $$-\ctg x$$. Получаем

   $$ \int_{\pi/4}^{\pi/2}\frac{dx}{\sin^2 x} = -\ctg x\Big|_{\pi/4}^{\pi/2} = -\ctg \tfrac{\pi}{2}-\bigl(-\ctg \tfrac{\pi}{4}\bigr) = 0-(-1)=1. $$

Ответ

а) $$1$$; б) $$2$$; в) $$2$$; г) $$1$$.