Упр.49.16 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
а) у = 0, х = 4, у = корень(х);
б) у = 0, х = 1, x = 3, у = 1 / x^2;
в) у = 1, х = 0, у = (3)корень(х);
г) у = 2, х = 0, у = корень(х).
а) Фигура ограничена линиями $$y=\sqrt{x},\ y=0,\ x=4.$$
На отрезке $$[0;4]$$ функция $$y=\sqrt{x}$$ неотрицательна, поэтому площадь равна
$$ S=\int\limits_0^4 \sqrt{x}\,dx=\int\limits_0^4 x^{1/2}\,dx=\left.\frac{2}{3}x^{3/2}\right|_0^4=\frac{2}{3}\cdot 8=\frac{16}{3}=5\frac{1}{3}. $$
б) Фигура ограничена линиями $$y=\frac{1}{x^2},\ y=0,\ x=1,\ x=3.$$
На отрезке $$[1;3]$$ функция положительна, значит
$$ S=\int\limits_1^3 \frac{1}{x^2}\,dx=\int\limits_1^3 x^{-2}\,dx=\left.-x^{-1}\right|_1^3=-\frac{1}{3}+1=\frac{2}{3}. $$
в) Фигура ограничена линиями $$y=\sqrt[3]{x},\ y=1,\ x=0.$$
Точка пересечения графиков $$y=\sqrt[3]{x}$$ и $$y=1$$ находится из уравнения
$$ \sqrt[3]{x}=1 \Rightarrow x=1. $$
Тогда площадь равна
$$ S=\int\limits_0^1 \left(1-\sqrt[3]{x}\right)\,dx =\int\limits_0^1 \left(1-x^{1/3}\right)\,dx =\left.x-\frac{3}{4}x^{4/3}\right|_0^1 =1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}. $$
г) Фигура ограничена линиями $$y=\sqrt{x},\ y=2,\ x=0.$$
Точка пересечения графиков $$y=\sqrt{x}$$ и $$y=2$$:
$$ \sqrt{x}=2 \Rightarrow x=4. $$
Площадь фигуры:
$$ S=\int\limits_0^4 \left(2-\sqrt{x}\right)\,dx =\int\limits_0^4 2\,dx-\int\limits_0^4 x^{1/2}\,dx =8-\frac{16}{3} =\frac{8}{3} =2\frac{2}{3}. $$
Ответ
а) $$5\frac{1}{3}$$; б) $$\frac{2}{3}$$; в) $$\frac{1}{4}$$; г) $$2\frac{2}{3}$$.
