Упр.49.14 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) у = sin х, у = 0, x = пи/2;
б) y = cos 2х, у = 0, х = -пи/6, x = пи/6;
в) y = cos х, у = 0, х = -пи/4, х = пи/4;
г) у = sin x/2, y = 0, х = пи/2, х = пи.

1. а) На отрезке $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$ функция $$y=\sin x$$ неотрицательна, поэтому площадь равна определённому интегралу:

   $$ S=\int\limits_{0}^{\pi/2}\sin x\,dx=-\cos x\Big|_{0}^{\pi/2}=-\cos\frac{\pi}{2}+\cos 0=1. $$

2. б) Для функции $$y=\cos 2x$$ на отрезке $$\left[-\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{6}\right]$$ имеем $$\cos 2x\ge 0$$, значит:

   $$ S=\int\limits_{-\pi/6}^{\pi/6}\cos 2x\,dx=\frac12\sin 2x\Big|_{-\pi/6}^{\pi/6} =\frac12\left(\sin\frac{\pi}{3}-\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right) =\frac12\cdot 2\cdot\frac{\sqrt3}{2} =\frac{\sqrt3}{2}. $$

3. в) На отрезке $$\left[-\frac{\pi}{4};\frac{\pi}{4}\right]$$ функция $$y=\cos x$$ неотрицательна, поэтому:

   $$ S=\int\limits_{-\pi/4}^{\pi/4}\cos x\,dx=\sin x\Big|_{-\pi/4}^{\pi/4} =\sin\frac{\pi}{4}-\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) =\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2} =\sqrt2. $$

4. г) На отрезке $$\left[\frac{\pi}{2};\pi\right]$$ функция $$y=\sin\frac{x}{2}$$ неотрицательна, значит:

   $$ S=\int\limits_{\pi/2}^{\pi}\sin\frac{x}{2}\,dx =-2\cos\frac{x}{2}\Big|_{\pi/2}^{\pi} =-2\left(\cos\frac{\pi}{2}-\cos\frac{\pi}{4}\right) =-2\left(0-\frac{\sqrt2}{2}\right) =\sqrt2. $$

Ответ

а) $$1$$; б) $$\frac{\sqrt3}{2}$$; в) $$\sqrt2$$; г) $$\sqrt2$$.