Упр.48.17 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) g(x) = 8 sin x/2 cos x/2, M (пи/2; 3);
б) g(x) = 2 cos^2 x/2 -1, M (пи/2; 16);
в) g(x) = cos^2 x/2 — sin^2 x/2, M (0; 7);
г) g(x) = 1 — 2 sin^2 x/2, M (пи/2; 15).

1. а) $$g(x)=8\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}=4\sin x.$$

   Тогда первообразная имеет вид $$F(x)=-4\cos x+C.$$

   Подставим точку $$M\left(\frac{\pi}{2};3\right):$$

   $$3=-4\cos\frac{\pi}{2}+C=0+C,$$

   откуда $$C=3.$$

   Значит, $$F(x)=-4\cos x+3.$$

2. б) $$g(x)=2\cos^2\frac{x}{2}-1=\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2}=\cos x.$$

   Тогда первообразная имеет вид $$F(x)=\sin x+C.$$

   Подставим точку $$M\left(\frac{\pi}{2};16\right):$$

   $$16=\sin\frac{\pi}{2}+C=1+C,$$

   откуда $$C=15.$$

   Значит, $$F(x)=\sin x+15.$$

3. в) $$g(x)=\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2}=\cos x.$$

   Тогда первообразная имеет вид $$F(x)=\sin x+C.$$

   Подставим точку $$M(0;7):$$

   $$7=\sin 0+C=0+C,$$

   откуда $$C=7.$$

   Значит, $$F(x)=\sin x+7.$$

4. г) $$g(x)=1-2\sin^2\frac{x}{2}=\cos^2\frac{x}{2}-\sin^2\frac{x}{2}=\cos x.$$

   Тогда первообразная имеет вид $$F(x)=\sin x+C.$$

   Подставим точку $$M\left(\frac{\pi}{2};15\right):$$

   $$15=\sin\frac{\pi}{2}+C=1+C,$$

   откуда $$C=14.$$

   Значит, $$F(x)=\sin x+14.$$

Ответ

а) $$F(x)=-4\cos x+3$$; б) $$F(x)=\sin x+15$$; в) $$F(x)=\sin x+7$$; г) $$F(x)=\sin x+14$$.