Упр.48.16 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Найдите закон изменения скорости v = v(t) и закон движения s = s(t), если v(0) = 1, s(0) = 1.

Так как ускорение есть производная скорости, имеем:

$$v'(t)=a(t)=2(t+1)^2.$$

Найдём скорость интегрированием:

$$v(t)=\int 2(t+1)^2\,dt=\frac{2}{3}(t+1)^3+C.$$

Используем условие $$v(0)=1$$:

$$1=\frac{2}{3}(0+1)^3+C=\frac{2}{3}+C,$$

откуда

$$C=\frac{1}{3}.$$

Значит,

$$v(t)=\frac{2}{3}(t+1)^3+\frac{1}{3}.$$

Теперь найдём закон движения, учитывая, что $$s'(t)=v(t)$$:

$$s(t)=\int \left(\frac{2}{3}(t+1)^3+\frac{1}{3}\right)dt=\frac{(t+1)^4}{6}+\frac{t}{3}+C.$$

Используем условие $$s(0)=1$$:

$$1=\frac{(0+1)^4}{6}+\frac{0}{3}+C=\frac{1}{6}+C,$$

откуда

$$C=\frac{5}{6}.$$

Следовательно,

$$s(t)=\frac{(t+1)^4}{6}+\frac{t}{3}+\frac{5}{6}.$$

Ответ

$$v(t)=\frac{2}{3}(t+1)^3+\frac{1}{3}, \qquad s(t)=\frac{(t+1)^4}{6}+\frac{t}{3}+\frac{5}{6}.$$