Упр.48.12 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

график которой проходит через заданную точку М:
а) у = sin x, М (пи/3; 1/4);
б) y = 1 / cos^2 x, М (пи/4; -1);
в) у = cos x, М (пи/6; 1);
г) y = 1 / sin^2 x/3, М (3пи/4; 0).

1. Если $$f(x)=\sin x,$$ то первообразная имеет вид $$F(x)=-\cos x+C.$$

   Подставим точку $$M\left(\frac{\pi}{3};\frac14\right):$$

   $$\frac14=-\cos\frac{\pi}{3}+C=-\frac12+C,$$

   $$C=\frac34.$$

   Значит, $$F(x)=-\cos x+\frac34.$$

2. Если $$f(x)=\frac{1}{\cos^2 x},$$ то первообразная имеет вид $$F(x)=\tg x+C.$$

   Подставим точку $$M\left(\frac{\pi}{4};-1\right):$$

   $$-1=\tg\frac{\pi}{4}+C=1+C,$$

   $$C=-2.$$

   Значит, $$F(x)=\tg x-2.$$

3. Если $$f(x)=\cos x,$$ то первообразная имеет вид $$F(x)=\sin x+C.$$

   Подставим точку $$M\left(\frac{\pi}{6};1\right):$$

   $$1=\sin\frac{\pi}{6}+C=\frac12+C,$$

   $$C=\frac12.$$

   Значит, $$F(x)=\sin x+\frac12.$$

4. Если $$f(x)=\frac{1}{\sin^2\frac{x}{3}},$$ то

   $$\int \frac{1}{\sin^2\frac{x}{3}}\,dx=-3\ctg\frac{x}{3}+C.$$

   Подставим точку $$M\left(\frac{3\pi}{4};0\right):$$

   $$0=-3\ctg\frac{1}{3}\cdot\frac{3\pi}{4}+C=-3\ctg\frac{\pi}{4}+C=-3+C,$$

   $$C=3.$$

   Значит, $$F(x)=-3\ctg\frac{x}{3}+3.$$

Ответ

а) $$F(x)=-\cos x+\frac34$$; б) $$F(x)=\tg x-2$$; в) $$F(x)=\sin x+\frac12$$; г) $$F(x)=-3\ctg\frac{x}{3}+3$$.