Упр.47.5 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) f(x) = (3)корень(х) * е^x, х0 = 1;
б) f(x) = корень(х) / e^x, x0 = 1;
в) f(x) = 4е^х + 3, х0 = -2;
г) f(x) = 0,1е^x — 10x, x0 = 0.

1. а) $$f(x)=\sqrt[3]{x}\cdot e^x$$

   Найдём производную по правилу произведения:

   $$ f'(x)=\left(\sqrt[3]{x}\right)’e^x+\sqrt[3]{x}\,(e^x)’= \frac{1}{3}x^{-\frac23}e^x+\sqrt[3]{x}\,e^x $$

   Приведём к общему виду:

   $$ f'(x)=\frac{e^x(1+3x)}{3\sqrt[3]{x^2}} $$

   Подставим $$x_0=1$$:

   $$ f'(1)=\frac{e(1+3)}{3\cdot 1}=\frac{4e}{3} $$

2. б) $$f(x)=\frac{\sqrt{x}}{e^x}$$

   Найдём производную:

   $$ f'(x)=\left(\frac{\sqrt{x}}{e^x}\right)’= \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}e^x-\sqrt{x}\,e^x}{e^{2x}} $$

   Упростим:

   $$ f'(x)=\frac{1-2x}{2e^x\sqrt{x}} $$

   Подставим $$x_0=1$$:

   $$ f'(1)=\frac{1-2}{2e\cdot 1}=-\frac{1}{2e} $$

3. в) $$f(x)=4e^x+3$$

   Тогда

   $$ f'(x)=4e^x $$

   Подставим $$x_0=-2$$:

   $$ f'(-2)=4e^{-2}=\frac{4}{e^2} $$

4. г) $$f(x)=0{,}1e^x-10x$$

   Найдём производную:

   $$ f'(x)=0{,}1e^x-10 $$

   Подставим $$x_0=0$$:

   $$ f'(0)=0{,}1e^0-10=0{,}1-10=-9{,}9 $$

Ответ

а) $$\frac{4e}{3}$$; б) $$-\frac{1}{2e}$$; в) $$\frac{4}{e^2}$$; г) $$-9{,}9$$.