Упр.47.28 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) имеет одну точку экстремума;
б) имеет две точки экстремума;
в) убывает;
г) возрастает?

Подробный ответ

Найдём производную функции $$y=x^6e^{-x}$$:

$$ y’=(x^6e^{-x})’=6x^5e^{-x}-x^6e^{-x}=x^5e^{-x}(6-x). $$

Так как $$e^{-x}>0$$ при всех $$x$$, знак производной определяется выражением $$x^5(6-x)$$.

Критические точки:

$$x=0,\quad x=6.$$

Исследуем знак производной:

при $$x<0$$ имеем $$y'<0$$, при $$0<x<6$$ — $$y’>0$$, при $$x>6$$ — $$y'<0$$.

Значит, функция убывает на $$(-\infty;0]$$ и $$[6;+\infty)$$, возрастает на $$[0;6]$$.

а) Функция имеет одну точку экстремума

На интервале $$\left(a;a+7\right)$$ должна попасть только одна из точек $$0$$ или $$6$$.

1) Пусть в интервал попадает только $$0$$:

$$ a<0,\quad a+7>0,\quad a+7<6. $$

Отсюда

$$ -7<a<-1. $$

2) Пусть в интервал попадает только $$6$$:

$$ a>0,\quad a<6,\quad a+7>6. $$

Отсюда

$$ 0<a<6. $$

Если конец интервала совпадает с точкой экстремума, то точка не входит в открытый интервал, поэтому дополнительно получаем случаи $$a=-7$$ и $$a=0$$, а также $$a=-1$$ и $$a=6$$ на границах включения одной точки экстремума.

Итак,

$$ a\in[-7;-1)\cup(0;6]. $$

б) Функция имеет две точки экстремума

Нужно, чтобы в интервале оказались обе точки $$0$$ и $$6$$:

$$ a<0,\quad a+7>6. $$

Следовательно,

$$ -1<a<0. $$

в) Функция убывает

Интервал $$\left(a;a+7\right)$$ должен целиком лежать в области убывания:

$$ a+7\le 0 \quad \text{или} \quad a\ge 6. $$

Отсюда

$$ a\le -7 \quad \text{или} \quad a\ge 6. $$