Упр.47.23 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) [1/e; е];
б) [е; е^2].

Рассмотрим функцию $$y=x-\ln x.$$

Найдём производную:

$$y’ = 1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}.$$

Область определения: $$x>0.$$

Критическая точка: $$y’=0 \Rightarrow x=1.$$

При $$0<x<1$$ имеем $$y'<0,$$ значит функция убывает, а при $$x>1$$ имеем $$y’>0,$$ значит функция возрастает. Следовательно, в точке $$x=1$$ достигается минимум:

$$y(1)=1-\ln 1=1.$$

а) На отрезке $$\left[\frac{1}{e};\,e\right]$$

Проверим значения в концах отрезка и в критической точке:

$$y\!\left(\frac{1}{e}\right)=\frac{1}{e}-\ln\frac{1}{e}=\frac{1}{e}+1,$$

$$y(1)=1,$$

$$y(e)=e-\ln e=e-1.$$

Наименьшее значение равно $$1,$$ наибольшее — $$e-1.$$

б) На отрезке $$\left[e;\,e^2\right]$$

Так как на этом отрезке $$x>1,$$ функция возрастает. Значит, минимум достигается в левой границе, а максимум — в правой:

$$y(e)=e-\ln e=e-1,$$

$$y(e^2)=e^2-\ln e^2=e^2-2.$$

Следовательно, наименьшее значение равно $$e-1,$$ наибольшее — $$e^2-2.$$

Ответ

а) $$y_{\min}=1,\; y_{\max}=e-1.$$

б) $$y_{\min}=e-1,\; y_{\max}=e^2-2.$$