Упр.47.22 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) y = 2 ln x^3 — 5x + x^2 / 2;
б) у = ln 1/x^3 + x^2 + x + 3.

а) $$y=2\ln x^3-5x+\frac{x^2}{2}=6\ln x-5x+\frac{x^2}{2}.$$

Область определения: $$x>0.$$

Найдём производную:

$$y’=\frac{6}{x}-5+x=\frac{x^2-5x+6}{x}=\frac{(x-2)(x-3)}{x}.$$

Так как $$x>0,$$ знак производной определяется числителем. Тогда

$$y’>0 \text{ при } x\in(0;2)\cup(3;+\infty),$$

$$y'<0 \text{ при } x\in(2;3).$$

Следовательно, функция возрастает на $$ (0;2] \cup [3;+\infty), $$ убывает на $$[2;3].$$

В точке $$x=2$$ — локальный максимум,

$$y(2)=6\ln 2-10+2=6\ln 2-8.$$

В точке $$x=3$$ — локальный минимум,

$$y(3)=6\ln 3-15+\frac{9}{2}=6\ln 3-\frac{21}{2}=2\ln 27-10{,}5.$$

б) $$y=\ln\frac{1}{x^3}+x^2+x+3=-3\ln x+x^2+x+3.$$

Область определения: $$x>0.$$

Найдём производную:

$$y’=-\frac{3}{x}+2x+1=\frac{2x^2+x-3}{x}=\frac{(2x+3)(x-1)}{x}.$$

При $$x>0$$ знак производной определяется числителем. Критическая точка из области определения: $$x=1.$$

Тогда

$$y'<0 \text{ при } x\in(0;1),$$

$$y’>0 \text{ при } x\in(1;+\infty).$$

Значит, функция убывает на $$ (0;1], $$ возрастает на $$[1;+\infty).$$

В точке $$x=1$$ — глобальный минимум:

$$y(1)=-3\ln 1+1+1+3=5.$$

Ответ

а) функция возрастает на $$ (0;2] \cup [3;+\infty), $$ убывает на $$[2;3]$$; локальный максимум при $$x=2,$$ $$y=6\ln 2-8$$; локальный минимум при $$x=3,$$ $$y=6\ln 3-\frac{21}{2}.$$

б) функция убывает на $$ (0;1], $$ возрастает на $$[1;+\infty);$$ глобальный минимум при $$x=1,$$ $$y=5.$$