Упр.47.21 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) у = х + ln 1/x;
б) у = х^4 — 4 ln x.

1. а) $$y=x+\ln\frac{1}{x}=x-\ln x$$

   Область определения: $$x>0$$

   Найдём производную:

   $$y’ = 1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}$$

   На области определения $$x>0$$ знак производной определяется числителем $$x-1$$:

   • при $$0<x<1$$ имеем $$y'<0$$, значит функция убывает;
   • при $$x=1$$ имеем $$y’=0$$;
   • при $$x>1$$ имеем $$y’>0$$, значит функция возрастает.

   Следовательно, в точке $$x=1$$ функция имеет минимум:

   $$y(1)=1+\ln 1=1$$

   Минимум достигается в точке $$\left(1;1\right)$$.

2. б) $$y=x^4-4\ln x$$

   Область определения: $$x>0$$

   Найдём производную:

   $$y’ = 4x^3-\frac{4}{x}=\frac{4(x^4-1)}{x}=\frac{4(x^2-1)(x^2+1)}{x}=\frac{4(x-1)(x+1)(x^2+1)}{x}$$

   На области определения $$x>0$$ множители $$4$$, $$x$$ и $$x^2+1$$ положительны, поэтому знак $$y’$$ определяется множителем $$x-1$$:

   • при $$0<x<1$$ имеем $$y'<0$$, значит функция убывает;
   • при $$x=1$$ имеем $$y’=0$$;
   • при $$x>1$$ имеем $$y’>0$$, значит функция возрастает.

   Следовательно, в точке $$x=1$$ функция имеет минимум:

   $$y(1)=1^4-4\ln 1=1$$

   Минимум достигается в точке $$\left(1;1\right)$$.

Ответ

а) функция убывает на $$\left(0;1\right]$$, возрастает на $$\left[1;+\infty\right)$$; минимум в точке $$\left(1;1\right)$$.

б) функция убывает на $$\left(0;1\right]$$, возрастает на $$\left[1;+\infty\right)$$; минимум в точке $$\left(1;1\right)$$.