Упр.47.19 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) f(x) = х^5 — ln x, а = 1;
б) f(x) = ln x / x^2, а = 1;
в) f(x) = -2x ln x, a = e;
г) f(x) = (3)корень(x) ln x, a = 1.

1. а) $$f(x)=x^5-\ln x,\quad a=1$$

   Найдём значение функции и производной в точке $$x=1$$:

   $$ f(1)=1^5-\ln 1=1 $$

   $$ f'(x)=5x^4-\frac{1}{x},\qquad f'(1)=5-\!1=4 $$

   Уравнение касательной:

   $$ y=f(a)+f'(a)(x-a) $$

   $$ y=1+4(x-1)=4x-3 $$

2. б) $$f(x)=\frac{\ln x}{x^2},\quad a=1$$

   $$ f(1)=\frac{\ln 1}{1^2}=0 $$

   Найдём производную:

   $$ f'(x)=\left(\frac{\ln x}{x^2}\right)’=\frac{(\ln x)’\cdot x^2-\ln x\cdot (x^2)’}{(x^2)^2} $$

   $$ f'(x)=\frac{\frac{1}{x}\cdot x^2-\ln x\cdot 2x}{x^4} =\frac{x-2x\ln x}{x^4} =\frac{1-2\ln x}{x^3} $$

   $$ f'(1)=\frac{1-2\ln 1}{1^3}=1 $$

   $$ y=0+1(x-1)=x-1 $$

3. в) $$f(x)=-2x\ln x,\quad a=e$$

   $$ f(e)=-2e\ln e=-2e $$

   Найдём производную:

   $$ f'(x)=(-2x)’\ln x+(-2x)(\ln x)’=-2\ln x-2 $$

   $$ f'(e)=-2\ln e-2=-2\cdot 1-2=-4 $$

   $$ y=-2e-4(x-e)=-4x+2e $$

4. г) $$f(x)=\sqrt[3]{x}\,\ln x,\quad a=1$$

   $$ f(1)=\sqrt[3]{1}\cdot \ln 1=0 $$

   Найдём производную:

   $$ f'(x)=\left(\sqrt[3]{x}\right)’\ln x+\sqrt[3]{x}\,(\ln x)’ $$

   $$ f'(x)=\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}\ln x+\sqrt[3]{x}\cdot \frac{1}{x} =\frac{\ln x+3}{3\sqrt[3]{x^2}} $$

   $$ f'(1)=\frac{\ln 1+3}{3\sqrt[3]{1^2}}=1 $$

   $$ y=0+1(x-1)=x-1 $$

Ответ

а) $$y=4x-3$$;
б) $$y=x-1$$;
в) $$y=-4x+2e$$;
г) $$y=x-1$$.