Упр.47.14 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
а) у = е^2х — Зе^х + х + 4;
б) у = 1 — Зх + 5е^х — е^2х.
а) $$y=e^{2x}-3e^x+x+4$$
Найдём производную:
$$y’ = 2e^{2x}-3e^x+1$$
Решим уравнение $$y’=0$$:
$$ 2e^{2x}-3e^x+1=0 $$
Обозначим $$t=e^x$$, тогда $$t>0$$ и получаем:
$$ 2t^2-3t+1=0 $$
$$ (2t-1)(t-1)=0 $$
$$ t=\frac12 \quad \text{или} \quad t=1 $$
Следовательно,
$$ e^x=\frac12 \Rightarrow x=\ln\frac12=-\ln 2, \qquad e^x=1 \Rightarrow x=0 $$
Исследуем знак производной:
$$ y’=(2e^x-1)(e^x-1) $$
Так как $$e^x>0$$, то:
- при $$x\in(-\infty;-\ln 2)$$ имеем $$y’>0$$;
- при $$x\in(-\ln 2;0)$$ имеем $$y'<0$$;
- при $$x\in(0;+\infty)$$ имеем $$y’>0$$.
Значит, функция возрастает на $$(-\infty;-\ln 2] \cup [0;+\infty)$$ и убывает на $$[-\ln 2;0]$$.
Найдём значения функции в критических точках:
$$ y(-\ln 2)=e^{-2\ln 2}-3e^{-\ln 2}-\ln 2+4=\frac14-\frac32-\ln 2+4=\frac94-\ln 2 $$
$$ y(0)=1-3+4=2 $$
Следовательно, в точке $$x=-\ln 2$$ — локальный максимум, а в точке $$x=0$$ — локальный минимум.
б) $$y=1-3x+5e^x-e^{2x}$$
Найдём производную:
$$ y’=-3+5e^x-2e^{2x} $$
Решим уравнение $$y’=0$$:
$$ -3+5e^x-2e^{2x}=0 $$
$$ 2e^{2x}-5e^x+3=0 $$
Положим $$t=e^x$$, тогда $$t>0$$ и
$$ 2t^2-5t+3=0 $$
$$ (2t-3)(t-1)=0 $$
$$ t=\frac32 \quad \text{или} \quad t=1 $$
Отсюда
$$ e^x=\frac32 \Rightarrow x=\ln\frac32, \qquad e^x=1 \Rightarrow x=0 $$
Исследуем знак производной:
$$ y’=-(2e^x-3)(e^x-1) $$
- при $$x\in(-\infty;0)$$ имеем $$y'<0$$;
- при $$x\in(0;\ln\frac32)$$ имеем $$y’>0$$;
- при $$x\in(\ln\frac32;+\infty)$$ имеем $$y'<0$$.
Значит, функция убывает на $$(-\infty;0] \cup [\ln\frac32;+\infty)$$ и возрастает на $$[0;\ln\frac32]$$.
Найдём значения функции в критических точках:
$$ y(0)=1-0+5-1=5 $$
$$ y\!\left(\ln\frac32\right)=1-3\ln\frac32+5\cdot\frac32-\left(\frac32\right)^2 =1-3\ln\frac32+\frac{15}{2}-\frac94 =\frac{25}{4}-3\ln\frac32 $$
Следовательно, в точке $$x=0$$ — точка минимума, а в точке $$x=\ln\frac32$$ — точка максимума.
Ответ
а) функция возрастает на $$(-\infty;-\ln 2] \cup [0;+\infty)$$, убывает на $$[-\ln 2;0]$$; локальный максимум при $$x=-\ln 2$$, $$y=\frac94-\ln 2$$; локальный минимум при $$x=0$$, $$y=2$$.
б) функция убывает на $$(-\infty;0] \cup [\ln\frac32;+\infty)$$, возрастает на $$[0;\ln\frac32]$$; точка минимума $$\left(0;5\right)$$; точка максимума $$\left(\ln\frac32;\frac{25}{4}-3\ln\frac32\right)$$.
