Упр.46.8 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) 3 log3^2 x = 5 / logx 3 + 2;
6) 2 log2^2 x = 5 / logx 2 + 3.

а) Используем свойство $$\dfrac{1}{\log_3 x}=\log_x 3$$:

$$3\log_3^2 x=\frac{5}{\log_x 3}+2 \;\Rightarrow\; 3\log_3^2 x=5\log_3 x+2.$$

Сделаем замену:

$$t=\log_3 x.$$

Тогда получаем квадратное уравнение:

$$3t^2-5t-2=0.$$

$$D=25+24=49,$$

$$t_{1,2}=\frac{5\pm 7}{6}.$$

Отсюда:

$$t_1=-\frac{1}{3}, \qquad t_2=2.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\log_3 x=-\frac{1}{3} \Rightarrow x=3^{-1/3}=\frac{1}{\sqrt[3]{3}},$$

$$\log_3 x=2 \Rightarrow x=3^2=9.$$

б) Аналогично, используя $$\dfrac{1}{\log_2 x}=\log_x 2$$, получаем:

$$2\log_2^2 x=\frac{5}{\log_x 2}+3 \;\Rightarrow\; 2\log_2^2 x=5\log_2 x+3.$$

Сделаем замену:

$$t=\log_2 x.$$

Тогда:

$$2t^2-5t-3=0.$$

$$D=25+24=49,$$

$$t_{1,2}=\frac{5\pm 7}{4}.$$

Следовательно:

$$t_1=-\frac{1}{2}, \qquad t_2=3.$$

Возвращаемся к $$x$$:

$$\log_2 x=-\frac{1}{2} \Rightarrow x=2^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{2}},$$

$$\log_2 x=3 \Rightarrow x=2^3=8.$$

Ответ

а) $$\frac{1}{\sqrt[3]{3}}; \; 9.$$
б) $$\frac{1}{\sqrt{2}}; \; 8.$$