Упр.46.16 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) log9 x^2 + log3^2 (-x) < 2; б) log4 x^2 + log2^2 (-x) > 6.

а) Обозначим $$y=\log_9 x^2.$$ Тогда

$$\log_3^2(-x)=\left(\log_3(-x)\right)^2=\left(\log_9 x^2\right)^2=y^2,$$

и неравенство принимает вид

$$y+y^2<2.$$

Получаем

$$y^2+y-2<0,$$

$$\left(y+2\right)\left(y-1\right)<0,$$

откуда

$$-2<y<1.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$-2<\log_9 x^2<1.$$

Так как основание $$9>1$$, имеем

$$9^{-2}<x^2<9,$$

$$\frac{1}{81}<x^2<9.$$

С учётом области определения $$-x>0$$, то есть $$x<0$$, получаем

$$-3<x<-\frac{1}{9}.$$

б) Обозначим $$y=\log_4 x^2.$$ Тогда

$$\log_2^2(-x)=\left(\log_2(-x)\right)^2=\left(\log_4 x^2\right)^2=y^2,$$

и неравенство принимает вид

$$y+y^2>6.$$

Получаем

$$y^2+y-6>0,$$

$$\left(y+3\right)\left(y-2\right)>0,$$

откуда

$$y<-3 \quad \text{или} \quad y>2.$$

Возвращаемся к переменной $$x$$:

$$\log_4 x^2<-3 \quad \text{или} \quad \log_4 x^2>2.$$

Так как основание $$4>1$$, имеем

$$x^2<4^{-3}=\frac{1}{64} \quad \text{или} \quad x^2>16.$$

Отсюда

$$-\frac{1}{8}<x<\frac{1}{8} \quad \text{или} \quad x<-4 \quad \text{или} \quad x>4.$$

С учётом области определения $$x<0$$ получаем

$$x<-4 \quad \text{или} \quad -\frac{1}{8}<x<0.$$

Ответ

а) $$-3<x<-\frac{1}{9}$$; б) $$x<-4 \cup \left(-\frac{1}{8};\,0\right).$$