Упр.46.15 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) log(2x + 1) (5 + 8x — 4x^2) + log(5 — 2x) (1 + 4x + 4x^2) = 4;
6) log(3x + 7) (9 + 12x + 4x^2) = 4 — log(2x + 3) (6x^2 + 23x + 21).

а)

$$ \log_{2x+1}(5+8x-4x^2)+\log_{5-2x}(1+4x+4x^2)=4 $$

Разложим многочлены:
$$ 5+8x-4x^2=(5-2x)(2x+1), \qquad 1+4x+4x^2=(2x+1)^2. $$
Тогда
$$ \log_{2x+1}\bigl((5-2x)(2x+1)\bigr)+\log_{5-2x}(2x+1)^2=4. $$
По свойствам логарифмов:
$$ \log_{2x+1}(5-2x)+\log_{2x+1}(2x+1)+2\log_{5-2x}(2x+1)=4. $$
Так как
$$ \log_{2x+1}(2x+1)=1, $$
получаем
$$ \log_{2x+1}(5-2x)+1+2\log_{5-2x}(2x+1)=4. $$
Используем формулу перехода к новому основанию:
$$ \log_{2x+1}(5-2x)=\frac{1}{\log_{5-2x}(2x+1)}. $$
Пусть
$$ y=\log_{5-2x}(2x+1). $$
Тогда
$$ \frac{1}{y}+1+2y=4, $$
$$ \frac{1}{y}+2y=3. $$
Умножим на $$y$$:
$$ 1+2y^2=3y, $$
$$ 2y^2-3y+1=0, $$
$$ (2y-1)(y-1)=0. $$
Отсюда
$$ y=\frac12 \quad \text{или} \quad y=1. $$

1) Если $$\log_{5-2x}(2x+1)=\frac12,$$ то
$$ 2x+1=(5-2x)^{1/2}, $$
$$ (2x+1)^2=5-2x, $$
$$ 4x^2+6x-4=0, $$
$$ 2x^2+3x-2=0, $$
$$ (2x-1)(x+2)=0. $$
Получаем
$$ x=\frac12 \quad \text{или} \quad x=-2. $$
Из области допустимых значений подходит только
$$ x=\frac12. $$

2) Если $$\log_{5-2x}(2x+1)=1,$$ то
$$ 2x+1=5-2x, $$
$$ 4x=4, $$
$$ x=1. $$

Проверка области допустимых значений:
$$ 5-2x>0,\quad 2x+1>0,\quad 5-2x\ne 1,\quad 2x+1\ne 1. $$
Оба найденных значения подходят.

б)

$$ \log_{3x+7}(9+12x+4x^2)=4-\log_{2x+3}(6x^2+23x+21) $$

Разложим выражения:
$$ 9+12x+4x^2=(2x+3)^2,\qquad 6x^2+23x+21=(2x+3)(3x+7). $$
Тогда
$$ \log_{3x+7}(2x+3)^2=4-\log_{2x+3}\bigl((2x+3)(3x+7)\bigr). $$
По свойствам логарифмов:
$$ 2\log_{3x+7}(2x+3)=4-\log_{2x+3}(2x+3)-\log_{2x+3}(3x+7). $$
Так как
$$ \log_{2x+3}(2x+3)=1, $$
получаем
$$ 2\log_{3x+7}(2x+3)=3-\log_{2x+3}(3x+7). $$
Пусть
$$ t=\log_{3x+7}(2x+3). $$
Тогда
$$ \log_{2x+3}(3x+7)=\frac{1}{t}, $$
и уравнение принимает вид
$$ 2t=3-\frac{1}{t}. $$
Умножим на $$t$$:
$$ 2t^2-3t+1=0, $$
$$ (2t-1)(t-1)=0. $$
Отсюда
$$ t=\frac12 \quad \text{или} \quad t=1. $$

1) Если $$\log_{3x+7}(2x+3)=\frac12,$$ то
$$ 2x+3=(3x+7)^{1/2}, $$
$$ (2x+3)^2=3x+7, $$
$$ 4x^2+9x+2=0, $$
$$ (4x+1)(x+2)=0. $$
Получаем
$$ x=-\frac14 \quad \text{или} \quad x=-2. $$
Из ОДЗ подходит только
$$ x=-\frac14. $$

2) Если $$\log_{3x+7}(2x+3)=1,$$ то
$$ 2x+3=3x+7, $$
$$ x=-4, $$
но это значение не подходит по ОДЗ.

Ответ: а) $$\frac12,\ 1$$; б) $$-\frac14$$.