Упр.46.14 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) log4 (x + 12) * logx 2 = 1;
Р±) 1 + logx 5 * log7 x = log5 35 * logx 5.

а) $$\log_4(x+12)\cdot \log_x 2=1$$

Область допустимых значений:

$$x>0,\quad x\ne 1,\quad x+12>0.$$

Преобразуем уравнение:

$$\log_4(x+12)\cdot \frac{1}{\log_2 x}=1.$$

Так как $$\log_4(x+12)=\frac{\log_2(x+12)}{\log_2 4}=\frac{1}{2}\log_2(x+12),$$ то удобнее сразу воспользоваться равенством

$$\log_x 2=\frac{1}{\log_2 x}.$$

Тогда

$$\log_4(x+12)=\log_2 x.$$

Перейдём к основанию 4:

$$\log_4(x+12)=\log_4 x^2.$$

Следовательно,

$$x+12=x^2.$$

Получаем квадратное уравнение:

$$x^2-x-12=0$$

$$\left(x+3\right)\left(x-4\right)=0.$$

Отсюда $$x=-3$$ или $$x=4$$. С учётом ОДЗ подходит только $$x=4$$.

б) $$1+\log_x 5\cdot \log_7 x=\log_5 35\cdot \log_x 5$$

Область допустимых значений:

$$x>0,\quad x\ne 1.$$

Используем формулу перехода к новому основанию:

$$\log_x 5=\frac{1}{\log_5 x},\qquad \log_7 x=\frac{\log_5 x}{\log_5 7}.$$

Тогда левая часть:

$$1+\log_x 5\cdot \log_7 x=1+\frac{1}{\log_5 x}\cdot \log_7 x.$$

Умножим уравнение на $$\log_5 x$$:

$$\log_5 x+\log_7 x=\log_5 35.$$

Переходим к основанию 5:

$$\log_5 x+\frac{\log_5 x}{\log_5 7}=\log_5 35.$$

Умножим на $$\log_5 7$$:

$$\log_5 x\left(\log_5 7+1\right)=\log_5 35\cdot \log_5 7.$$

Но $$\log_5 35=\log_5(5\cdot 7)=1+\log_5 7,$$ значит

$$\log_5 x\left(\log_5 7+1\right)=\left(1+\log_5 7\right)\log_5 7.$$

Сокращаем на $$1+\log_5 7\neq 0$$:

$$\log_5 x=\log_5 7.$$

Следовательно, $$x=7$$.

Ответ

а) $$4$$; б) $$7$$.