Упр.45.9 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

a) log2^2 x > 4 log2 x — 3;
6) log1/2^2 x + 3log1/2 x < -2; РІ) log4^2 x + log4 x < = 2; Рі) log0,2^2 x > = 6 — log0,2 x.

Подробный ответ

а) $$\log_2^2 x>4\log_2 x-3$$
Пусть $$t=\log_2 x$$. Тогда
$$t^2-4t+3>0$$
$$\left(t-1\right)\left(t-3\right)>0$$
Отсюда $$t<1$$ или $$t>3$$.
Возвращаясь к переменной $$x$$, получаем:
$$\log_2 x<1 \Rightarrow 0<x<2$$
$$\log_2 x>3 \Rightarrow x>8$$
Значит, $$x\in(0;2)\cup(8;+\infty).$$
б) $$\log_{\frac12}^2 x+3\log_{\frac12} x<-2$$
Пусть $$t=\log_{\frac12} x$$. Тогда
$$t^2+3t+2<0$$
$$\left(t+1\right)\left(t+2\right)<0$$
Отсюда $$-2<t<-1$$.
Возвращаясь к переменной $$x$$, получаем:
$$-2<\log_{\frac12} x<-1$$
Так как основание $$\frac12<1$$, знак неравенств при переходе к $$x$$ меняется:
$$2<x<4$$
в) $$\log_4^2 x+\log_4 x\le 2$$
Пусть $$t=\log_4 x$$. Тогда
$$t^2+t-2\le 0$$
$$\left(t+2\right)\left(t-1\right)\le 0$$
Отсюда $$-2\le t\le 1$$.
Возвращаясь к переменной $$x$$, получаем:
$$-2\le \log_4 x\le 1$$
$$4^{-2}\le x\le 4^1$$
$$\frac{1}{16}\le x\le 4$$
г) $$\log_{0,2}^2 x\ge 6-\log_{0,2} x$$
Пусть $$t=\log_{0,2} x$$. Тогда
$$t^2+t-6\ge 0$$
$$\left(t+3\right)\left(t-2\right)\ge 0$$
Отсюда $$t\le -3$$ или $$t\ge 2$$.
Возвращаясь к переменной $$x$$, получаем:
$$\log_{0,2} x\le -3 \quad \text{или} \quad \log_{0,2} x\ge 2$$
Так как $$0<0,2<1$$, знак неравенств меняется:
$$x\ge 0,2^{-3} \quad \text{или} \quad 0<x\le 0,2^2$$
$$x\ge 125 \quad \text{или} \quad 0<x\le \frac{1}{25}$$