Упр.45.7 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) log1/2 (6 — x) > = log1/2 x^2;
Р±) log0,3 (x^2 + 22) < log0,3 13x; РІ) log1/4 (-x - 6) < = log1/4 (6 - x^2); Рі) log0,5 (x^2 - 27) > log0,5 6x.

1. $$\log_{\frac12}(6-x)\ge \log_{\frac12}x^2$$

   Так как основание $$\frac12<1$$, то знак неравенства меняется:

   $$6-x\le x^2$$

   $$x^2+x-6\ge 0$$

   $$ (x+3)(x-2)\ge 0 $$

   Отсюда $$x\le -3$$ или $$x\ge 2$$.

   Учитываем область определения:

   $$6-x>0,\quad x^2>0$$

   $$x<6,\quad x\ne 0$$

   Пересечение условий даёт:

   $$x\in(-\infty;-3]\cup[2;6)$$

2. $$\log_{0,3}(x^2+22)<\log_{0,3}13x$$

   Так как основание $$0,3<1$$, то знак неравенства меняется:

   $$x^2+22>13x$$

   $$x^2-13x+22>0$$

   $$ (x-2)(x-11)>0 $$

   Отсюда $$x<2$$ или $$x>11$$.

   Учитываем область определения:

   $$x^2+22>0,\quad 13x>0$$

   $$x>0$$

   Тогда

   $$x\in(0;2)\cup(11;+\infty)$$

3. $$\log_{\frac14}(-x-6)\le \log_{\frac14}(6-x^2)$$

   Так как основание $$\frac14<1$$, то знак неравенства меняется:

   $$-x-6\ge 6-x^2$$

   $$x^2-x-12\ge 0$$

   $$ (x+3)(x-4)\ge 0 $$

   Отсюда $$x\le -3$$ или $$x\ge 4$$.

   Учитываем область определения:

   $$-x-6>0,\quad 6-x^2>0$$

   $$x<-6,\quad -\sqrt6<x<\sqrt6$$

   Пересечение этих условий пусто, значит решений нет.

4. $$\log_{0,5}(x^2-27)>\log_{0,5}6x$$

   Так как основание $$0,5<1$$, то знак неравенства меняется:

   $$x^2-27<6x$$

   $$x^2-6x-27<0$$

   $$ (x+3)(x-9)<0 $$

   Отсюда $$-3<x<9$$.

   Учитываем область определения:

   $$x^2-27>0,\quad 6x>0$$

   $$x<-3\sqrt3 \ \text{или}\ x>3\sqrt3,\quad x>0$$

   Пересечение даёт:

   $$x\in(3\sqrt3;9)$$

Ответ

а) $$x\in(-\infty;-3]\cup[2;6)$$;

б) $$x\in(0;2)\cup(11;+\infty)$$;

в) решений нет;

г) $$x\in(3\sqrt3;9)$$.