Упр.45.6 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) log3 (x^2 + 6) < log3 5x; Р±) log0,6 (6x - x^2) > log0,6 (-8 — x);
РІ) lg (x^2 — 8) < = lg(2 - 9x); Рі) logкорень(2) (x^2 + 10x) > = logкорень(2) (x — 14).

1. $$\log_3(x^2+6)<\log_3 5x$$

   Так как основание $$3>1$$, то сравниваем подлогарифмические выражения:

   $$x^2+6<5x$$

   $$x^2-5x+6<0$$

   $$ (x-2)(x-3)<0 $$

   Отсюда $$2<x<3$$.

   ОДЗ: $$x^2+6>0$$ при всех $$x$$, а также $$5x>0$$, то есть $$x>0$$. Пересечение с найденным промежутком не меняет ответ.

2. $$\log_{0,6}(6x-x^2)>\log_{0,6}(-8-x)$$

   Так как основание $$0,6<1$$, знак неравенства меняется:

   $$6x-x^2<-8-x$$

   $$x^2-7x-8>0$$

   $$ (x+1)(x-8)>0 $$

   Отсюда $$x<-1$$ или $$x>8$$.

   ОДЗ:

   $$6x-x^2>0 \;\Rightarrow\; x(6-x)>0 \;\Rightarrow\; 0<x<6$$

   $$-8-x>0 \;\Rightarrow\; x<-8$$

   Пересечение условий ОДЗ пусто, значит решений нет.

3. $$\lg(x^2-8)\le \lg(2-9x)$$

   Так как основание $$10>1$$, получаем:

   $$x^2-8\le 2-9x$$

   $$x^2+9x-10\le 0$$

   $$ (x+10)(x-1)\le 0 $$

   Отсюда $$-10\le x\le 1$$.

   ОДЗ:

   $$x^2-8>0 \;\Rightarrow\; x<-2\sqrt2 \;\text{или}\; x>2\sqrt2$$

   $$2-9x>0 \;\Rightarrow\; x<\frac29$$

   Пересечение с $$[-10;1]$$ даёт:

   $$-10\le x<-2\sqrt2$$

4. $$\log_{\sqrt2}(x^2+10x)\ge \log_{\sqrt2}(x-14)$$

   Так как основание $$\sqrt2>1$$, имеем:

   $$x^2+10x\ge x-14$$

   $$x^2+9x+14\ge 0$$

   $$ (x+7)(x+2)\ge 0 $$

   Отсюда $$x\le -7$$ или $$x\ge -2$$.

   ОДЗ:

   $$x^2+10x>0 \;\Rightarrow\; x(x+10)>0 \;\Rightarrow\; x<-10 \;\text{или}\; x>0$$

   $$x-14>0 \;\Rightarrow\; x>14$$

   Пересечение условий даёт:

   $$x>14$$

Ответ

а) $$2<x<3$$; б) решений нет; в) $$-10\le x<-2\sqrt2$$; г) $$x>14$$.