Упр.45.12 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
a) 2 log5^2 x + 6 log5 x + 2 > = 0;
Р±) 2 log0,3^2 x — 7 log0,3 x — 4 < = 0;
РІ) 3 log4^2 x - 7 log4 x + 2 < 0;
Рі) 3 log1/3^2 x + 5 log1/3 x - 2 > 0.
а) Пусть $$y=\log_5 x.$$ Тогда
$$2y^2+5y+2\ge 0$$
$$2y^2+5y+2=(2y+1)(y+2)$$
$$ (2y+1)(y+2)\ge 0 $$
Отсюда
$$y\le -2 \quad \text{или} \quad y\ge -\frac12.$$
Возвращаемся к переменной $$x$$:
$$\log_5 x\le -2 \Rightarrow 0<x\le 5^{-2}=\frac1{25},$$
$$\log_5 x\ge -\frac12 \Rightarrow x\ge 5^{-1/2}=\frac1{\sqrt5}.$$
Значит,
$$x\in \left(0;\frac1{25}\right]\cup \left[\frac1{\sqrt5};+\infty\right).$$
б) Пусть $$y=\log_{0,3} x.$$ Тогда
$$2y^2-7y-4\le 0$$
$$2y^2-7y-4=(2y+1)(y-4)$$
$$ (2y+1)(y-4)\le 0 $$
Отсюда
$$-\frac12\le y\le 4.$$
Возвращаемся к переменной $$x$$. Так как $$0<0{,}3<1,$$ знак неравенства при переходе к основанию меняется:
$$-\frac12\le \log_{0,3}x\le 4$$
$$0{,}3^4\le x\le 0{,}3^{-1/2}.$$
Следовательно,
$$\frac{81}{10000}\le x\le \frac{\sqrt{30}}{3}.$$
в) Пусть $$y=\log_4 x.$$ Тогда
$$3y^2-7y+2<0$$
$$3y^2-7y+2=(3y-1)(y-2)$$
$$ (3y-1)(y-2)<0 $$
Отсюда
$$\frac13<y<2.$$
Возвращаемся к переменной $$x$$:
$$\frac13<\log_4 x<2$$
$$4^{1/3}<x<4^2.$$
Значит,
$$x\in \left(\sqrt[3]{4};16\right).$$
г) Пусть $$y=\log_{1/3} x.$$ Тогда
$$3y^2+5y-2>0$$
$$3y^2+5y-2=(3y-1)(y+2)$$
$$ (3y-1)(y+2)>0 $$
Отсюда
$$y<-2 \quad \text{или} \quad y>\frac13.$$
Возвращаемся к переменной $$x$$. Так как $$0<\frac13<1,$$ знак неравенства меняется:
$$\log_{1/3}x<-2 \Rightarrow x>9,$$
$$\log_{1/3}x>\frac13 \Rightarrow 0<x<\left(\frac13\right)^{1/3}=\frac1{\sqrt[3]{3}}.$$
Следовательно,
$$x\in \left(0;\frac1{\sqrt[3]{3}}\right)\cup (9;+\infty).$$
Ответ
а) $$x\in \left(0;\frac1{25}\right]\cup \left[\frac1{\sqrt5};+\infty\right)$$; б) $$x\in \left[\frac{81}{10000};\frac{\sqrt{30}}{3}\right]$$; в) $$x\in \left(\sqrt[3]{4};16\right)$$; г) $$x\in \left(0;\frac1{\sqrt[3]{3}}\right)\cup (9;+\infty).$$
