Упр.45.11 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

a) log1/3 x + log1/3 (4 — x) > -1;
Р±) log2 (7 — x) + log2 x > = 1 + log2 3;
РІ) lg (7 — x) + lg x > 1;
Рі) log1/2 x + log1/2 (10 — x) > = -1 + log1/2 4,5.

Подробный ответ

а)
$$\log_{\frac13}x+\log_{\frac13}(4-x)>-1$$
$$\log_{\frac13}\bigl(x(4-x)\bigr)>\log_{\frac13}3$$
Так как основание $$\frac13<1$$, знак неравенства меняется:
$$x(4-x)<3$$
$$x^2-4x+3>0$$
$$\bigl(x-1\bigr)\bigl(x-3\bigr)>0$$
$$x<1 \text{ или } x>3$$
Область определения:
$$x>0,\quad 4-x>0$$
$$0<x<4$$
Пересекаем с найденным решением:
$$x\in(0;1)\cup(3;4)$$
б)
$$\log_2(7-x)+\log_2x\ge 1+\log_2 3$$
$$\log_2\bigl(x(7-x)\bigr)\ge \log_2 6$$
Так как основание $$2>1$$, получаем:
$$x(7-x)\ge 6$$
$$x^2-7x+6\le 0$$
$$\bigl(x-1\bigr)\bigl(x-6\bigr)\le 0$$
$$1\le x\le 6$$
Область определения:
$$x>0,\quad 7-x>0$$
$$0<x<7$$
Следовательно,
$$x\in[1;6]$$
в)
$$\lg(7-x)+\lg x>1$$
$$\lg\bigl(x(7-x)\bigr)>\lg 10$$
Значит,
$$x(7-x)>10$$
$$x^2-7x+10<0$$
$$\bigl(x-2\bigr)\bigl(x-5\bigr)<0$$
$$2<x<5$$
Область определения:
$$x>0,\quad 7-x>0$$
$$0<x<7$$
Итак,
$$x\in(2;5)$$
г)
$$\log_{\frac12}x+\log_{\frac12}(10-x)\ge -1+\log_{\frac12}4{,}5$$
$$\log_{\frac12}\bigl(x(10-x)\bigr)\ge \log_{\frac12}9$$
Так как основание $$\frac12<1$$, знак неравенства меняется:
$$x(10-x)\le 9$$
$$x^2-10x+9\ge 0$$
$$\bigl(x-1\bigr)\bigl(x-9\bigr)\ge 0$$
$$x\le 1 \text{ или } x\ge 9$$
Область определения:
$$x>0,\quad 10-x>0$$
$$0<x<10$$
Следовательно,
$$x\in(0;1]\cup[9;10)$$