Упр.44.26 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

logx (3x — корень(18)) + logx^2 (6 + xкорень(72) + 3x^2) = lg 27x^2 / lg x^2.

Преобразуем выражения под логарифмами:

$$ 3x-\sqrt{18}=3(x-\sqrt{2}), $$
$$ 6+x\sqrt{72}+3x^2=3(x^2+2x\sqrt{2}+2)=3(x+\sqrt{2})^2. $$

Тогда уравнение примет вид:

$$ \log_x\bigl(3(x-\sqrt{2})\bigr)+\log_{x^2}\bigl(3(x+\sqrt{2})^2\bigr)=\frac{\lg 27x^2}{\lg x^2}. $$

Так как

$$ \frac{\lg 27x^2}{\lg x^2}=\log_{x^2}(27x^2), $$
то получаем:

$$ \log_x\bigl(3(x-\sqrt{2})\bigr)+\log_{x^2}\bigl(3(x+\sqrt{2})^2\bigr)=\log_{x^2}(27x^2). $$

Переходим к основанию $x$:

$$ \log_{x^2}A=\frac{1}{2}\log_x A. $$

Тогда

$$ \log_x\bigl(3(x-\sqrt{2})\bigr)+\frac12\log_x\bigl(3(x+\sqrt{2})^2\bigr)=\frac12\log_x(27x^2). $$

Умножим на $2$:

$$ 2\log_x\bigl(3(x-\sqrt{2})\bigr)+\log_x\bigl(3(x+\sqrt{2})^2\bigr)=\log_x(27x^2). $$

Объединим логарифмы:

$$ \log_x\Bigl(9(x-\sqrt{2})^2\cdot 3(x+\sqrt{2})^2\Bigr)=\log_x(27x^2). $$

Следовательно, при допустимых значениях аргументов:

$$ 9\cdot 3\,(x-\sqrt{2})^2(x+\sqrt{2})^2=27x^2, $$
$$ (x^2-2)^2=x^2. $$

Обозначим $t=x^2$. Тогда

$$ (t-2)^2=t, $$
$$ t^2-5t+4=0, $$
$$ (t-1)(t-4)=0. $$

Отсюда

$$ t=1 \quad \text{или} \quad t=4. $$

Но $t=x^2$, значит

$$ x^2=1 \quad \text{или} \quad x^2=4. $$

С учётом области допустимых значений $x>0$, $x\ne 1$, а также $x-\sqrt{2}>0$, получаем только

$$ x=2. $$

Ответ

$$2$$