Упр.44.21 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) система
2^х * 2^y = 16,
log3 x + log3 у = 1;
б) система
9^х * З^y = 81,
log2 x + log2 y = 1.

а)

$$ \begin{cases} 2^x \cdot 2^y = 16, \\ \log_3 x + \log_3 y = 1 \end{cases} $$

Из первого уравнения:

$$ 2^{x+y}=2^4 \Rightarrow x+y=4. $$

Из второго уравнения:

$$ \log_3(xy)=\log_3 3 \Rightarrow xy=3. $$

Тогда

$$ y=4-x, $$
$$ x(4-x)=3, $$
$$ x^2-4x+3=0, $$
$$ (x-1)(x-3)=0. $$

Отсюда

$$ x=1 \text{ или } x=3. $$

Тогда

$$ y=3 \text{ или } y=1. $$

С учётом области допустимых значений $$x>0,\ y>0$$ получаем решения:

$$ (1;3),\ (3;1). $$

б)

$$ \begin{cases} 9^x \cdot 3^y = 81, \\ \log_2 x + \log_2 y = 1 \end{cases} $$

Преобразуем первое уравнение:

$$ 9^x \cdot 3^y = 81, $$
$$ 3^{2x}\cdot 3^y = 3^4, $$
$$ 3^{2x+y}=3^4 \Rightarrow 2x+y=4. $$

Из второго уравнения:

$$ \log_2(xy)=\log_2 2 \Rightarrow xy=2. $$

Тогда

$$ y=4-2x, $$
$$ x(4-2x)=2, $$
$$ 2x^2-4x+2=0, $$
$$ x^2-2x+1=0, $$
$$ (x-1)^2=0. $$

Следовательно,

$$ x=1,\quad y=2. $$

Проверка области допустимых значений: $$x>0,\ y>0$$ — подходит.

Ответ

а) $$ (1;3),\ (3;1) $$;
б) $$ (1;2) $$.