Упр.44.18 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) система
log2 (x^2 + 3x — 2) — log2 y = 1,
3х — у = 2;
б) система
2х + у = 7,
log3 (x^2 + 4х — 3) — log3 y = 1.

Подробный ответ

а)

Из второго уравнения выразим $$y$$:
$$3x-y=2,$$
$$y=3x-2.$$

Первое уравнение преобразуем:
$$\log_2(x^2+3x-2)-\log_2 y=1,$$
$$\log_2\frac{x^2+3x-2}{y}=1,$$
$$\frac{x^2+3x-2}{y}=2.$$
Подставим $$y=3x-2$$:
$$x^2+3x-2=2(3x-2).$$

Получаем:
$$x^2+3x-2=6x-4,$$
$$x^2-3x+2=0,$$
$$(x-1)(x-2)=0.$$
Значит,
$$x=1 \text{ или } x=2.$$

Найдём $$y$$:
$$x=1 \Rightarrow y=3\cdot1-2=1,$$
$$x=2 \Rightarrow y=3\cdot2-2=4.$$
Проверка области допустимых значений: $$y>0$$, оба решения подходят.

б)

Из первого уравнения выразим $$y$$:
$$2x+y=7,$$
$$y=7-2x.$$

Второе уравнение преобразуем:
$$\log_3(x^2+4x-3)-\log_3 y=1,$$
$$\log_3\frac{x^2+4x-3}{y}=1,$$
$$\frac{x^2+4x-3}{y}=3.$$
Подставим $$y=7-2x$$:
$$x^2+4x-3=3(7-2x).$$

Получаем:
$$x^2+4x-3=21-6x,$$
$$x^2+10x-24=0,$$
$$(x+12)(x-2)=0.$$
Значит,
$$x=-12 \text{ или } x=2.$$

Найдём $$y$$:
$$x=-12 \Rightarrow y=7-2(-12)=31,$$
$$x=2 \Rightarrow y=7-2\cdot2=3.$$
Проверка области допустимых значений: $$y>0$$, оба решения подходят.