Упр.44.17 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) x^(1 + log3 x) = 9;
б) x^(log0,5 x-2) = 0,125;
в) x^(5 + log2 x) = 1/16;
г) х^(log1/3 — 4) = 27.

Подробный ответ

а) $$x^{1+\log_3 x}=9$$
Так как $$9=3^2$$, получаем:
$$\log_3\left(x^{1+\log_3 x}\right)=\log_3 9$$
$$\left(1+\log_3 x\right)\log_3 x=2$$
Пусть $$y=\log_3 x$$. Тогда
$$y^2+y-2=0$$
$$\left(y+2\right)\left(y-1\right)=0$$
$$y_1=-2,\quad y_2=1$$
Возвращаемся к переменной $$x$$:
$$\log_3 x=-2 \Rightarrow x=3^{-2}=\frac{1}{9}$$
$$\log_3 x=1 \Rightarrow x=3$$
б) $$x^{\log_{0,5}x-2}=0,125$$
Так как $$0,125=0,5^3$$, имеем:
$$\log_{0,5}\left(x^{\log_{0,5}x-2}\right)=\log_{0,5}0,125$$
$$\left(\log_{0,5}x-2\right)\log_{0,5}x=3$$
Пусть $$y=\log_{0,5}x$$. Тогда
$$y^2-2y-3=0$$
$$\left(y+1\right)\left(y-3\right)=0$$
$$y_1=-1,\quad y_2=3$$
Возвращаемся к переменной $$x$$:
$$\log_{0,5}x=-1 \Rightarrow x=(0,5)^{-1}=2$$
$$\log_{0,5}x=3 \Rightarrow x=(0,5)^3=\frac{1}{8}$$
в) $$x^{5+\log_2 x}=\frac{1}{16}$$
Так как $$\frac{1}{16}=2^{-4}$$, получаем:
$$\log_2\left(x^{5+\log_2 x}\right)=\log_2\frac{1}{16}$$
$$\left(5+\log_2 x\right)\log_2 x=-4$$
Пусть $$y=\log_2 x$$. Тогда
$$y^2+5y+4=0$$
$$\left(y+1\right)\left(y+4\right)=0$$
$$y_1=-1,\quad y_2=-4$$
Возвращаемся к переменной $$x$$:
$$\log_2 x=-1 \Rightarrow x=2^{-1}=\frac{1}{2}$$
$$\log_2 x=-4 \Rightarrow x=2^{-4}=\frac{1}{16}$$
г) $$x^{\log_{1/3}x-4}=27$$
Так как $$27=\left(\frac{1}{3}\right)^{-3}$$, имеем:
$$\log_{1/3}\left(x^{\log_{1/3}x-4}\right)=\log_{1/3}27$$
$$\left(\log_{1/3}x-4\right)\log_{1/3}x=-3$$
Пусть $$y=\log_{1/3}x$$. Тогда
$$y^2-4y+3=0$$
$$\left(y-1\right)\left(y-3\right)=0$$
$$y_1=1,\quad y_2=3$$
Возвращаемся к переменной $$x$$:
$$\log_{1/3}x=1 \Rightarrow x=\left(\frac{1}{3}\right)^1=\frac{1}{3}$$
$$\log_{1/3}x=3 \Rightarrow x=\left(\frac{1}{3}\right)^3=\frac{1}{27}$$