Упр.44.16 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) x^lоg3 x = 81;
б) x^log0,5 x = 1/16;
в) х^lоg2 х = 16;
г) x^log1/3 x = 1/81.

1. а) $$x^{\log_3 x}=81$$

   Область допустимых значений: $$x>0$$.

   Положим $$t=\log_3 x$$, тогда $$x=3^t$$. Получаем:

   $$ (3^t)^t=81 \\ 3^{t^2}=3^4 \\ t^2=4 \\ t=\pm 2 $$

   Тогда

   $$ \log_3 x=2 \Rightarrow x=3^2=9, \\ \log_3 x=-2 \Rightarrow x=3^{-2}=\frac{1}{9}. $$

2. б) $$x^{\log_{0,5} x}=\frac{1}{16}$$

   Область допустимых значений: $$x>0$$.

   Положим $$t=\log_{0,5} x$$, тогда $$x=(0,5)^t$$. Получаем:

   $$ \bigl((0,5)^t\bigr)^t=\frac{1}{16} \\ (0,5)^{t^2}=(0,5)^4 \\ t^2=4 \\ t=\pm 2 $$

   Тогда

   $$ \log_{0,5} x=2 \Rightarrow x=(0,5)^2=\frac{1}{4}, \\ \log_{0,5} x=-2 \Rightarrow x=(0,5)^{-2}=4. $$

3. в) $$x^{\log_2 x}=16$$

   Область допустимых значений: $$x>0$$.

   Положим $$t=\log_2 x$$, тогда $$x=2^t$$. Получаем:

   $$ (2^t)^t=16 \\ 2^{t^2}=2^4 \\ t^2=4 \\ t=\pm 2 $$

   Тогда

   $$ \log_2 x=2 \Rightarrow x=2^2=4, \\ \log_2 x=-2 \Rightarrow x=2^{-2}=\frac{1}{4}. $$

4. г) $$x^{\log_{1/3} x}=\frac{1}{81}$$

   Область допустимых значений: $$x>0$$.

   Положим $$t=\log_{1/3} x$$, тогда $$x=\left(\frac{1}{3}\right)^t$$. Получаем:

   $$ \left(\left(\frac{1}{3}\right)^t\right)^t=\frac{1}{81} \\ \left(\frac{1}{3}\right)^{t^2}=\left(\frac{1}{3}\right)^4 \\ t^2=4 \\ t=\pm 2 $$

   Тогда

   $$ \log_{1/3} x=2 \Rightarrow x=\left(\frac{1}{3}\right)^2=\frac{1}{9}, \\ \log_{1/3} x=-2 \Rightarrow x=\left(\frac{1}{3}\right)^{-2}=9. $$

Ответ

а) $$\frac{1}{9},\,9$$; б) $$\frac{1}{4},\,4$$; в) $$\frac{1}{4},\,4$$; г) $$\frac{1}{9},\,9$$.