Упр.42.21 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

a) log3 x = 4 — х;
б) log1/2 x = x + 1/2;
в) log5 x = 6 — х;
Г) log1/3 x = x + 2/3.

1. а) $$\log_3 x=4-x$$

   Рассмотрим функции $$f(x)=\log_3 x$$ и $$g(x)=4-x$$ при $$x>0$$.

   Функция $$f(x)$$ возрастает, а $$g(x)$$ убывает, значит, они могут пересечься только в одной точке. Проверим значение $$x=3$$:

   $$\log_3 3=1,\qquad 4-3=1.$$

   Следовательно, $$x=3$$.

2. б) $$\log_{\frac12} x=x+\frac12$$

   Рассмотрим функции $$f(x)=\log_{\frac12} x$$ и $$g(x)=x+\frac12$$ при $$x>0$$.

   Функция $$f(x)$$ убывает, а $$g(x)$$ возрастает, значит, пересечение возможно только в одной точке. Проверим $$x=\frac12$$:

   $$\log_{\frac12}\frac12=1,\qquad \frac12+\frac12=1.$$

   Значит, $$x=\frac12$$.

3. в) $$\log_5 x=6-x$$

   Рассмотрим функции $$f(x)=\log_5 x$$ и $$g(x)=6-x$$ при $$x>0$$.

   Функция $$f(x)$$ возрастает, а $$g(x)$$ убывает, поэтому пересечение одно. Проверим $$x=5$$:

   $$\log_5 5=1,\qquad 6-5=1.$$

   Следовательно, $$x=5$$.

4. г) $$\log_{\frac13} x=x+\frac23$$

   Рассмотрим функции $$f(x)=\log_{\frac13} x$$ и $$g(x)=x+\frac23$$ при $$x>0$$.

   Функция $$f(x)$$ убывает, а $$g(x)$$ возрастает, значит, пересечение одно. Проверим $$x=\frac13$$:

   $$\log_{\frac13}\frac13=1,\qquad \frac13+\frac23=1.$$

   Значит, $$x=\frac13$$.

Ответ

а) $$3$$; б) $$\frac12$$; в) $$5$$; г) $$\frac13$$.