Упр.42.20 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) У =
система
-4х + 4, если х < 1, log2 x, если х > = 1;

а) Функция задана по частям:

$$ y=\begin{cases} -4x+4, & x<1,\\ \log_2 x, & x\ge 1. \end{cases} $$

Для первой части строим прямую $$y=-4x+4$$. Возьмём точки:

$$ x=0 \Rightarrow y=4,\qquad x=1 \Rightarrow y=0. $$

Для второй части строим график $$y=\log_2 x$$. Удобные точки:

$$ (1,0),\ (2,1),\ (4,2),\ (8,3). $$

В точке $$x=1$$ обе части дают одно и то же значение $$y=0$$, значит график соединяется в точке $$ (1,0) $$.

Свойства функции:

• $$D(f)=(-\infty;+\infty)$$;
• функция убывает при $$x<1$$ и возрастает при $$x\ge 1$$;
• наименьшее значение $$y_{\min}=0$$ при $$x=1$$;
• множество значений $$E(f)=[0;+\infty)$$;
• функция непрерывна на всей области определения.

б) Функция задана по частям:

$$ y=\begin{cases} -(x-4)^2, & x<5,\\ \log_{0,2}x, & x\ge 5. \end{cases} $$

Первая часть — парабола $$y=-(x-4)^2$$ с вершиной $$ (4,0) $$.

Удобные точки:

$$ x=1 \Rightarrow y=-9,\quad x=2 \Rightarrow y=-4,\quad x=3 \Rightarrow y=-1. $$

Вторая часть — логарифмическая функция $$y=\log_{0,2}x$$. Удобные точки:

$$ x=5 \Rightarrow y=-1,\qquad x=25 \Rightarrow y=-2. $$

Свойства функции:

• $$D(f)=(-\infty;+\infty)$$;
• функция возрастает при $$x\le 4$$ и убывает при $$x\ge 4$$;
• наибольшее значение $$y_{\max}=0$$ при $$x=4$$;
• множество значений $$E(f)=(-\infty;0]$$;
• функция непрерывна на всей области определения.

в) Функция задана по частям:

$$ y=\begin{cases} \log_2 x, & 0<x<2,\\ \left(\dfrac12\right)^x, & x\ge 2. \end{cases} $$

Для $$y=\log_2 x$$ удобные точки:

$$ (1,0),\ (2,1). $$

Для $$y=\left(\dfrac12\right)^x$$ удобные точки:

$$ x=2 \Rightarrow y=\dfrac14,\qquad x=3 \Rightarrow y=\dfrac18. $$

В точке $$x=2$$ график имеет разрыв: слева значение стремится к $$1$$, а справа и в самой точке $$y=\dfrac14$$.

Свойства функции:

• $$D(f)=(0;+\infty)$$;
• функция возрастает на $$ (0;2) $$ и убывает на $$ [2;+\infty) $$;
• вертикальная асимптота: $$x=0$$;
• горизонтальная асимптота: $$y=0$$;
• множество значений $$E(f)=(-\infty;1)$$;
• функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения.

г) Функция задана по частям:

$$ y=\begin{cases} \dfrac1x, & x<0,\\ \log_{\sqrt2}x, & x>0. \end{cases} $$

Для $$y=\dfrac1x$$ удобные точки:

$$ (-2,-0{,}5),\ (-1,-1),\ \left(-\dfrac12,-2\right). $$

Для $$y=\log_{\sqrt2}x$$ удобные точки:

$$ (1,0),\ (2,2),\ (4,4),\ (8,6). $$

Свойства функции:

• $$D(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$;
• функция убывает при $$x<0$$ и возрастает при $$x>0$$;
• вертикальная асимптота: $$x=0$$;
• функция не ограничена ни снизу, ни сверху;
• множество значений $$E(f)=(-\infty;+\infty)$$;
• функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения.

Ответ

а) $$D(f)=(-\infty;+\infty),\ E(f)=[0;+\infty),\ y_{\min}=0$$ при $$x=1$$; функция убывает при $$x<1$$ и возрастает при $$x\ge 1$$.

б) $$D(f)=(-\infty;+\infty),\ E(f)=(-\infty;0],\ y_{\max}=0$$ при $$x=4$$; функция возрастает при $$x\le 4$$ и убывает при $$x\ge 4$$.

в) $$D(f)=(0;+\infty),\ E(f)=(-\infty;1)$$; функция возрастает на $$ (0;2) $$ и убывает на $$ [2;+\infty) $$.

г) $$D(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty),\ E(f)=(-\infty;+\infty)$$; функция убывает при $$x<0$$ и возрастает при $$x>0$$.