Упр.42.10 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) у = log1/2 (х^2 + 4);
б) у = log0,3 (x^2 — 4x + 3).

а) Рассмотрим функцию $$y=\log_{\frac12}(x^2+4).$$

Так как $$0<\frac12<1,$$ логарифмическая функция убывает, значит наибольшее значение $$y$$ достигается при наименьшем значении аргумента $$x^2+4.$$

Поскольку $$x^2\ge 0,$$ то

$$x^2+4\ge 4,$$

и минимум аргумента равен $$4$$ при $$x=0.$$ Тогда

$$y_{\max}=\log_{\frac12}4=\log_{\frac12}\left(\frac12\right)^{-2}=-2.$$

б) Рассмотрим функцию $$y=\log_{0,3}(x^2-4x+3).$$

Так как $$0<0,3<1,$$ логарифмическая функция убывает, значит наибольшее значение $$y$$ достигается при наименьшем значении аргумента.

Преобразуем квадратный трёхчлен:

$$x^2-4x+3=(x-2)^2-1.$$

Минимум выражения $$x^2-4x+3$$ равен $$-1$$ при $$x=2,$$ но для логарифма требуется

$$x^2-4x+3>0.$$

Следовательно, аргумент логарифма может быть сколь угодно малым положительным числом, а тогда

$$y=\log_{0,3}(x^2-4x+3)\to +\infty.$$

Значит, наибольшего значения функция не имеет.

Ответ

а) $$-2$$; б) наибольшего значения не существует.