Упр.41.21 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) 4^x — 2^x + а = а * 2^x;
б) 9^x — (2а + 1) * 3^x + а^2 + а — 2 = 0.

1. а) Преобразуем уравнение:

   $$4^x-2^x+a=a\cdot 2^x$$

   $$2^{2x}-2^x-a\cdot 2^x+a=0$$

   $$2^{2x}-(a+1)2^x+a=0.$$

   Сделаем замену $$y=2^x$$, тогда получаем квадратное уравнение:

   $$y^2-(a+1)y+a=0.$$

   Найдём дискриминант:

   $$D=(a+1)^2-4a=a^2-2a+1=(a-1)^2.$$

   Тогда

   $$y_{1,2}=\frac{a+1\pm(a-1)}{2},$$

   откуда

   $$y_1=1,\qquad y_2=a.$$

   Возвращаемся к переменной $$x$$:

   $$2^x=1 \Rightarrow x=0,$$

   $$2^x=a \Rightarrow x=\log_2 a \quad (\text{только при } a>0).$$

   Если $$a\le 0$$, то второе значение не подходит.

2. б) Преобразуем уравнение:

   $$9^x-(2a+1)\cdot 3^x+a^2+a-2=0$$

   $$3^{2x}-(2a+1)3^x+a^2+a-2=0.$$

   Сделаем замену $$y=3^x$$. Тогда:

   $$y^2-(2a+1)y+a^2+a-2=0.$$

   Дискриминант:

   $$D=(2a+1)^2-4(a^2+a-2)=9.$$

   Следовательно,

   $$y_{1,2}=\frac{2a+1\pm 3}{2},$$

   то есть

   $$y_1=a+2,\qquad y_2=a-1.$$

   Возвращаемся к $$x$$:

   $$3^x=a+2 \Rightarrow x=\log_3(a+2),$$

   $$3^x=a-1 \Rightarrow x=\log_3(a-1).$$

   Эти значения существуют только при положительных правых частях:

   $$a+2>0,\qquad a-1>0.$$

   Значит:

   при $$a\le -2$$ решений нет;

   при $$-2<a\le 1$$ подходит только $$x=\log_3(a+2);$$

   при $$a>1$$ оба корня подходят.

Ответ

а) $$x=0$$ при $$a\le 0$$; $$x=0,\ x=\log_2 a$$ при $$a>0.$$

б) $$a\le -2$$ — решений нет; $$-2<a\le 1,\ x=\log_3(a+2);$$ $$a>1,\ x=\log_3(a+2),\ x=\log_3(a-1).$$