Упр.41.19 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
а) 4^x — 5 * 2^x > = -6;
б) 16^x < = 6 * 4^x - 5;
в) 9^x - 7 * 3^x < -12;
г) 9 * 7^x + 14 > -49^x.
$$4^x-5\cdot 2^x\ge -6$$
$$2^{2x}-5\cdot 2^x+6\ge 0$$
Пусть $$y=2^x,\; y>0$$. Тогда
$$y^2-5y+6\ge 0$$
$$ (y-2)(y-3)\ge 0 $$
Отсюда $$y\le 2$$ или $$y\ge 3$$. С учётом $$y>0$$ получаем
$$2^x\le 2 \quad \text{или} \quad 2^x\ge 3$$
$$x\le 1 \quad \text{или} \quad x\ge \log_2 3$$
$$16^x\le 6\cdot 4^x-5$$
$$4^{2x}-6\cdot 4^x+5\le 0$$
Пусть $$y=4^x,\; y>0$$. Тогда
$$y^2-6y+5\le 0$$
$$ (y-1)(y-5)\le 0 $$
Отсюда $$1\le y\le 5$$, значит
$$1\le 4^x\le 5$$
$$0\le x\le \log_4 5$$
$$9^x-7\cdot 3^x<-12$$
$$3^{2x}-7\cdot 3^x+12<0$$
Пусть $$y=3^x,\; y>0$$. Тогда
$$y^2-7y+12<0$$
$$ (y-3)(y-4)<0 $$
Отсюда $$3<y<4$$, значит
$$3<3^x<4$$
$$1<x<\log_3 4$$
$$9\cdot 7^x+14>-49^x$$
$$49^x+9\cdot 7^x+14>0$$
$$7^{2x}+9\cdot 7^x+14>0$$
Пусть $$y=7^x,\; y>0$$. Тогда
$$y^2+9y+14>0$$
$$ (y+7)(y+2)>0 $$
При $$y>0$$ это неравенство выполняется всегда, значит решение — все действительные числа.
Ответ
а) $$x\in(-\infty;1]\cup[\log_2 3;+\infty)$$;
б) $$x\in[0;\log_4 5]$$;
в) $$x\in(1;\log_3 4)$$;
г) $$x\in(-\infty;+\infty)$$.
