Упр.41.17 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) 4^x — 5 * 2^x = -6;
б) 16^x = 6 * 4^x — 5;
в) 9^x — 7 * 3^x = -12;
г) -9 * 7^x + 14 = -49^x.

1. а) $$4^x-5\cdot 2^x=-6$$

   Положим $$y=2^x,\; y>0$$. Тогда $$4^x=(2^x)^2=y^2$$, и получаем:

   $$y^2-5y+6=0$$

   $$\left(y-2\right)\left(y-3\right)=0$$

   $$y=2 \text{ или } y=3$$

   Возвращаемся к $$x$$:

   $$2^x=2 \Rightarrow x=1$$

   $$2^x=3 \Rightarrow x=\log_2 3$$

2. б) $$16^x=6\cdot 4^x-5$$

   Положим $$y=4^x,\; y>0$$. Тогда $$16^x=(4^x)^2=y^2$$, и получаем:

   $$y^2-6y+5=0$$

   $$\left(y-1\right)\left(y-5\right)=0$$

   $$y=1 \text{ или } y=5$$

   Тогда:

   $$4^x=1 \Rightarrow x=0$$

   $$4^x=5 \Rightarrow x=\log_4 5$$

3. в) $$9^x-7\cdot 3^x=-12$$

   Положим $$y=3^x,\; y>0$$. Тогда $$9^x=(3^x)^2=y^2$$, и получаем:

   $$y^2-7y+12=0$$

   $$\left(y-3\right)\left(y-4\right)=0$$

   $$y=3 \text{ или } y=4$$

   Следовательно:

   $$3^x=3 \Rightarrow x=1$$

   $$3^x=4 \Rightarrow x=\log_3 4$$

4. г) $$-9\cdot 7^x+14=-49^x$$

   Перепишем:

   $$49^x-9\cdot 7^x+14=0$$

   Положим $$y=7^x,\; y>0$$. Тогда $$49^x=(7^x)^2=y^2$$, и получаем:

   $$y^2-9y+14=0$$

   $$\left(y-2\right)\left(y-7\right)=0$$

   $$y=2 \text{ или } y=7$$

   Тогда:

   $$7^x=2 \Rightarrow x=\log_7 2$$

   $$7^x=7 \Rightarrow x=1$$

Ответ

а) $$1,\ \log_2 3$$; б) $$0,\ \log_4 5$$; в) $$1,\ \log_3 4$$; г) $$1,\ \log_7 2$$.