Упр.40.66 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
а) 2^(2 — x) > 2x — 3;
б) 3^(3 — 2x) < = 2x + 1.
а) $$2^{2-x} > 2x-3.$$
Преобразуем левую часть:
$$2^{2-x}=4\cdot 2^{-x}=\left(\frac12\right)^x.$$
Тогда неравенство принимает вид
$$\left(\frac12\right)^x > \frac12x-\frac34.$$
Рассмотрим функции
$$f(x)=\left(\frac12\right)^x,\qquad g(x)=\frac12x-\frac34.$$
Функция $$f(x)$$ убывает на $$\mathbb{R}$$, а функция $$g(x)$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$. Значит, они могут пересечься не более чем в одной точке. Проверим $$x=2$$:
$$f(2)=\left(\frac12\right)^2=\frac14,$$
$$g(2)=\frac12\cdot 2-\frac34=\frac14.$$
Точка пересечения одна: $$x=2$$. Так как $$f(x)$$ убывает, а $$g(x)$$ возрастает, то неравенство $$f(x)>g(x)$$ выполняется при
$$x<2.$$
б) $$3^{3-2x}\le 2x+1.$$
Преобразуем левую часть:
$$3^{3-2x}=27\cdot 3^{-2x}=27\cdot \left(\frac19\right)^x.$$
Тогда
$$\left(\frac19\right)^x\le \frac{2}{27}x+\frac{1}{27}.$$
Рассмотрим функции
$$f(x)=\left(\frac19\right)^x,\qquad g(x)=\frac{2}{27}x+\frac{1}{27}.$$
Функция $$f(x)$$ убывает на $$\mathbb{R}$$, а функция $$g(x)$$ возрастает на $$\mathbb{R}$$. Найдём точку пересечения, подставив $$x=1$$:
$$f(1)=\frac19,$$
$$g(1)=\frac{2}{27}+\frac{1}{27}=\frac19.$$
Следовательно, графики пересекаются при $$x=1$$, и неравенство выполняется при
$$x\ge 1.$$
Ответ
а) $$x\in(-\infty;2).$$
б) $$x\in[1;+\infty).$$
