Упр.40.61 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
а) 5 / (12^x + 143) > = 5 / 12^(x + 2);
б) (16^x + 42) / 16^x < = 22;
в) 8 / (11^x + 120) < = 8 / 11^(x + 2);
г) (5^x + 15) / 5^x < 4.
а) $$\frac{5}{12^x+143}\ge \frac{5}{12^{x+2}}$$
Так как $$5>0$$, а знаменатели положительны, умножим неравенство на $$12^x(12^x+143)$$:
$$5\cdot 12^x \ge 5\cdot \frac{12^x+143}{12^2}$$
Удобнее сразу сравнить знаменатели:
$$12^x+143 \le 12^{x+2}=144\cdot 12^x$$
$$143 \le 143\cdot 12^x$$
$$12^x \ge 1$$
$$x\ge 0$$
б) $$\frac{16^x+42}{16^x}\le 22$$
$$16^x+42\le 22\cdot 16^x$$
$$42\le 21\cdot 16^x$$
$$2\le 16^x$$
$$2\le 2^{4x}$$
$$4x\ge 1$$
$$x\ge \frac14$$
в) $$\frac{8}{11^x+120}\le \frac{8}{11^{x+2}}$$
Так как числители равны и положительны, сравним знаменатели:
$$11^x+120\ge 11^{x+2}=121\cdot 11^x$$
$$120\ge 120\cdot 11^x$$
$$1\ge 11^x$$
$$x\le 0$$
г) $$\frac{5^x+15}{5^x}<4$$
$$5^x+15<4\cdot 5^x$$
$$15<3\cdot 5^x$$
$$5^x>5$$
$$x>1$$
Ответ
а) $$x\in[0;+\infty)$$; б) $$x\in\left[\frac14;+\infty\right)$$; в) $$x\in(-\infty;0]$$; г) $$x\in(1;+\infty)$$.
