Упр.40.60 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) (x^2 + 4x + 4) / (3^x — 27) > = 0;
б) (0,2^x — 0,008) / (x^2 — 10x + 25) < 0; в) (25 - 0,2^x) / (4x^2 - 4x + 1) < = 0; г) (x^2 + 6x + 9) / (2^x - 4) > 0.

1. $$\frac{x^2+4x+4}{3^x-27}\ge 0$$
   
   $$\frac{(x+2)^2}{3^x-3^3}\ge 0$$
   
   Числитель неотрицателен при всех $$x$$ и равен нулю при $$x=-2$$. Для дроби нужно, чтобы знаменатель был положительным:
   $$3^x-27>0$$
   $$3^x>3^3$$
   $$x>3$$
   Также подходит случай, когда числитель равен нулю:
   $$x=-2$$
   
   Следовательно,
   $$x\in\{-2\}\cup(3;+\infty).$$
2. $$\frac{0{,}2^x-0{,}008}{x^2-10x+25}<0$$
   
   $$0{,}008=0{,}2^3,\qquad x^2-10x+25=(x-5)^2$$
   
   Тогда
   $$\frac{0{,}2^x-0{,}2^3}{(x-5)^2}<0$$
   
   Так как знаменатель положителен при всех $$x\ne 5$$, нужно:
   $$0{,}2^x-0{,}2^3<0$$
   $$0{,}2^x<0{,}2^3$$
   
   Поскольку $$0<0{,}2<1$$, функция $$0{,}2^x$$ убывает, значит
   $$x>3.$$
   Учитываем также $$x\ne 5$$.
   
   Ответ:
   $$x\in(3;5)\cup(5;+\infty).$$
3. $$\frac{25-0{,}2^x}{4x^2-4x+1}\le 0$$
   
   $$25=0{,}2^{-2},\qquad 4x^2-4x+1=(2x-1)^2$$
   
   Тогда
   $$\frac{0{,}2^{-2}-0{,}2^x}{(2x-1)^2}\le 0$$
   
   Знаменатель положителен при всех $$x\ne \frac12$$, поэтому достаточно решить:
   $$25-0{,}2^x\le 0$$
   $$0{,}2^x\ge 25=0{,}2^{-2}$$
   
   Так как основание $$0{,}2<1$$, получаем
   $$x\le -2.$$
   Значение $$x=\frac12$$ сюда не попадает.
   
   Ответ:
   $$x\in(-\infty;-2].$$
4. $$\frac{x^2+6x+9}{2^x-4}>0$$
   
   $$\frac{(x+3)^2}{2^x-2^2}>0$$
   
   Числитель неотрицателен и равен нулю при $$x=-3$$. Для положительности дроби нужен положительный знаменатель:
   $$2^x-4>0$$
   $$2^x>2^2$$
   $$x>2.$$
   При $$x>2$$ числитель положителен, значит неравенство выполняется.
   
   Ответ:
   $$x\in(2;+\infty).$$

Ответ

а) $$x\in\{-2\}\cup(3;+\infty)$$;
б) $$x\in(3;5)\cup(5;+\infty)$$;
в) $$x\in(-\infty;-2]$$;
г) $$x\in(2;+\infty)$$.