Упр.40.57 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) 1/64 < 8^(-2х + 3) < 512; б) 1/27 < = (1/9)^(7 - x) < = 243?

а) $$\frac{1}{64} < 8^{-2x+3} < 512$$

Представим числа в виде степеней числа $$8$$:

$$8^{-2} < 8^{-2x+3} < 8^3$$

Так как основание $$8>1$$, сравниваем показатели:

$$-2 < -2x+3 < 3$$

$$-5 < -2x < 0$$

$$0 < x < 2{,}5$$

Натуральные числа, удовлетворяющие неравенству: $$x=1,2$$.

б) $$\frac{1}{27} \le \left(\frac{1}{9}\right)^{7-x} \le 243$$

Представим всё в виде степеней числа $$\frac{1}{3}$$:

$$\left(\frac{1}{3}\right)^3 \le \left(\frac{1}{3}\right)^{14-2x} \le \left(\frac{1}{3}\right)^{-5}$$

Так как основание $$\frac{1}{3}<1$$, при переходе к показателям знаки неравенств меняются:

$$3 \ge 14-2x \ge -5$$

$$-19 \le -2x \le -11$$

$$11 \le 2x \le 19$$

$$5{,}5 \le x \le 9{,}5$$

Натуральные числа, удовлетворяющие неравенству: $$x=6,7,8,9$$.

Ответ

а) $$2$$; б) $$4$$.