Упр.40.55 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) 3^((x — 4)/x — 3) < 1/27; б) (8/9)^((6x - 1)/x - 1) > = 81/64;
в) 8^((2 — x)/x — 2) > 1/64;
г) (6/11)^((5x + 1)/x — 1) < = 121/36.

1. а) $$3^{\frac{x-4}{x}-3}<\frac{1}{27}$$

   Так как $$\frac{1}{27}=3^{-3}$$, получаем:

   $$3^{\frac{x-4}{x}-3}<3^{-3}$$

   При основании $$3>1$$ сравниваем показатели:

   $$\frac{x-4}{x}-3<-3$$

   $$\frac{x-4}{x}<0$$

   Дробь отрицательна, когда числитель и знаменатель разных знаков. Отсюда:

   $$0<x<4$$

2. б) $$\left(\frac{8}{9}\right)^{\frac{6x-1}{x}-1}\ge \frac{81}{64}$$

   Заметим, что $$\frac{81}{64}=\left(\frac{8}{9}\right)^{-2}$$. Тогда:

   $$\left(\frac{8}{9}\right)^{\frac{6x-1}{x}-1}\ge \left(\frac{8}{9}\right)^{-2}$$

   Так как $$0<\frac{8}{9}<1$$, знак неравенства при сравнении показателей меняется:

   $$\frac{6x-1}{x}-1\le -2$$

   $$\frac{6x-1}{x}+1\le 0$$

   $$\frac{7x-1}{x}\le 0$$

   Решаем методом интервалов:

   $$0<x\le \frac{1}{7}$$

3. в) $$8^{\frac{2-x}{x}-2}>\frac{1}{64}$$

   Так как $$\frac{1}{64}=8^{-2}$$, имеем:

   $$8^{\frac{2-x}{x}-2}>8^{-2}$$

   Поскольку $$8>1$$, сравниваем показатели:

   $$\frac{2-x}{x}-2>-2$$

   $$\frac{2-x}{x}>0$$

   $$\frac{x-2}{x}<0$$

   Отсюда:

   $$0<x<2$$

4. г) $$\left(\frac{6}{11}\right)^{\frac{5x+1}{x}-1}\le \frac{121}{36}$$

   Заметим, что $$\frac{121}{36}=\left(\frac{6}{11}\right)^{-2}$$. Тогда:

   $$\left(\frac{6}{11}\right)^{\frac{5x+1}{x}-1}\le \left(\frac{6}{11}\right)^{-2}$$

   Так как $$0<\frac{6}{11}<1$$, знак неравенства при сравнении показателей меняется:

   $$\frac{5x+1}{x}-1\ge -2$$

   $$\frac{5x+1}{x}+1\ge 0$$

   $$\frac{6x+1}{x}\ge 0$$

   Решаем методом интервалов:

   $$x\le -\frac{1}{6}\quad \text{или}\quad x>0$$

Ответ

а) $$x\in(0;4)$$; б) $$x\in\left(0;\frac{1}{7}\right]$$; в) $$x\in(0;2)$$; г) $$x\in\left(-\infty;-\frac{1}{6}\right]\cup(0;+\infty)$$.