Упр.40.51 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

а) 2^(2x + 1) — 5 * 2^х + 2 > = 0;
б) З^(2x + 1) — 10 * 3^x + 3 < 0; в) (1/4)^(2х - 1) + 15 * (1/4)^x - 4 < 0; г) (0,5)^(2х - 1) + 3 * (0,5)^x - 2 > = 0.

Подробный ответ

а) Пусть $$y=2^x,$$ тогда $$y>0.$$ Получаем:
$$2y^2-5y+2\ge 0$$
$$D=25-16=9,$$
$$y_{1,2}=\frac{5\pm 3}{4},\quad y_1=\frac12,\quad y_2=2.$$
Тогда
$$\left(y-\frac12\right)(y-2)\ge 0,$$
откуда $$0<y\le \frac12$$ или $$y\ge 2.$$
Возвращаясь к переменной $$x,$$ получаем:
$$2^x\le \frac12 \Rightarrow x\le -1,$$
$$2^x\ge 2 \Rightarrow x\ge 1.$$
Значит, $$x\in(-\infty;-1]\cup[1;+\infty).$$
б) Пусть $$y=3^x,$$ тогда $$y>0.$$ Имеем:
$$3y^2-10y+3<0$$
$$D=100-36=64,$$
$$y_{1,2}=\frac{10\pm 8}{6},\quad y_1=\frac13,\quad y_2=3.$$
Следовательно,
$$\left(y-\frac13\right)(y-3)<0,$$
откуда $$\frac13<y<3.$$
Тогда
$$\frac13<3^x<3,$$
$$-1<x<1.$$
Значит, $$x\in(-1;1).$$
в) Пусть $$y=\left(\frac14\right)^x,$$ тогда $$y>0.$$ Получаем:
$$4y^2+15y-4<0$$
$$D=225+64=289,$$
$$y_{1,2}=\frac{-15\pm 17}{8},\quad y_1=-4,\quad y_2=\frac14.$$
Тогда
$$\left(y+4\right)\left(y-\frac14\right)<0,$$
откуда $$0<y<\frac14.$$
Следовательно,
$$0<\left(\frac14\right)^x<\frac14,$$
$$x>1.$$
Значит, $$x\in(1;+\infty).$$
г) Пусть $$y=(0{,}5)^x,$$ тогда $$y>0.$$ Имеем:
$$2y^2+3y-2\ge 0$$
$$D=9+16=25,$$
$$y_{1,2}=\frac{-3\pm 5}{4},\quad y_1=-2,\quad y_2=\frac12.$$
Тогда
$$\left(y+2\right)\left(y-\frac12\right)\ge 0,$$
откуда $$y\ge \frac12.$$
Следовательно,
$$0{,}5^x\ge \frac12,$$
$$x\le 1.$$
Значит, $$x\in(-\infty;1].$$